Latte in Bottiglia.

Ben fondatezza.

L'assioma di ben fondatezza ha delle strette connessioni con l'argomento di cui stavamo parlando ossia con i numeri naturali e la loro struttura come identificata da Peano.
Ci sono vari modi di enunciare l'assioma di “Ben fondatezza”. Per non rendere la nostra trattazione troppo complessa, lo enunciamo qua nel seguente modo che risulta facilmente comprensibile:

Assioma di fondatezza: Non esistono successioni infinite di insiemi ciascuno avente fra i suoi elementi il successivo.

Ossia non possono esistere degli insiemi A₁, A₂, A₃, A₄, .... tali che A₁ ha come elemento A₂ che ha come elemento A₃ che ha come elemento A₄ e così via senza fine:

A1 ϶ A2 ϶ A3 ϶ A4 ϶ A5 ϶ A6 ϶ A7 ϶ ...
(dove ϶ significa “ha fra i suoi elementi”)

Questo assioma in particolare evita che un insieme possa essere elemento di se stesso, infatti se X fosse elemento di X allora si potrebbe costruire una successione infinita di insiemi ciascuno avente fra i suoi elementi il successivo semplicemente prendendo tutti gli elementi della successione uguali a X:

X ϶ X ϶ X ϶ X ϶ X ϶ X ...

L'assioma evita in generale anche l'esistenza di loop di appartenenza di questo genere:

A1 ϶ A2 ϶ A3 ϶ A4 ϶ A1

Perché anche questi portano direttamente alla costruzione di successioni discendenti infinite.

Le successioni discendenti infinite sono come pozzi senza fine, come pacchetti che contengono pacchetti che contengono pacchetti ... a oltranza senza arrivare mai a una fine, a un contenuto oltre i contenitori. L'assioma di ben fondatezza vuole ed esige che gli insiemi abbiano un contenuto, foss'anche tale contenuto, come sappiamo, l'insieme vuoto.

Abbiamo visto che i numeri naturali vengono definiti nel seguente modo.

Definiamo 0 come {}.

Definiamo ora 1 come 0 U {0} ossia {} U {{}} = {{}}

Definiamo poi 2 come 1 U {1} ossia {{}} U {{{}}} = { {}, {{}} }

Definiamo poi 3 come 2 U {2} ossia { {}, {{}}, {{},{{}}} }

ecc.

In questo modo abbiamo che la nozione di “successore” di Peano si riduce alla nozione insiemistica di “ha come elemento”, infatti risulta dalla definizione che

0 ∈ 1 ∈ 2 ∈ 3 ∈ 4 ∈ 5 ...

(dove ∈ significa “appartiene a”)

Questo porta a un'analogia tra alcuni degli assiomi degli insiemi (o dirette conseguenze di essi) e gli assiomi di Peano.

• “Esiste l'insieme vuoto” corrisponde a “Lo 0 è un numero naturale”.
• “Nessun insieme appartiene all'insieme vuoto” corrisponde a “Lo 0 non è successore di nessun numero naturale”.
• “Si può costruire l'insieme coppia” ha come conseguenza che “esiste il successore di ogni numero”.
• “Nessun insieme appartiene a se stesso” corrisponde a “nessun numero naturale è successore di se stesso”.
• “Non esistono loop di appartenenza” corrisponde a “nessun numero può essere il successore di due numeri naturali distinti”.
• “Non esistono successioni discendenti infinite” corrisponde a “ogni sottoinsieme dei numeri naturali ha un numero minimo” principio che a sua volta è equivalente al principio di induzione.

In questo modo la teoria degli insiemi riesce a definire i numeri naturali ed a catturarne le proprietà. Come si vede la relazione "avere come successore" viene ridotta alla relazione "appartenere a" ed è proprio questo dover ridurre tutte le relazioni alla relazione di appartenenza che stiamo cercando di segnalare come limite della teoria degli insiemi. 

____

Vi è un interessante nesso tra l'assioma di ben fondatezza, la topologia (di cui parleremo in un prossimo paragrafo) ed il senso umano che si può attribuire a queste costruzioni.

Abbiamo già detto del fatto che l'assioma di ben fondatezza è stato introdotto per evitare il Paradosso di Russell e di come si possa pensare che l'assioma di ben fondatezza parli indirettamente del fatto che la razionalità ha bisogno di basi. Oppure, di come il pensiero abbia bisogno di contenuti per avere senso. Ci siamo lamentati più volte del fatto che gli insiemi sono limitati nel cogliere le relazioni tra gli oggetti. Abbiamo più volte, forse anche ingiustamente, sottolineato il fatto che gli insiemi sono solo sacchi di patate. Abbiamo poi visto che non ci sono in verità neanche le patate e ci eravamo abituati all'idea che l'unico contenuto finale dei contenitori sia l'insieme vuoto. L'assioma di ben fondatezza blocca dal rischio di far poggiare tutto su catene di contenitori senza fine

[ [ [ [ [ [ [ [ [ ... ] ] ] ] ] ] ] ] ]

Questo per quanto riguarda il senso umano.

Veniamo allora al nesso con la topologia. Supponiamo, contro l'assioma di ben fondatezza, che esista un loop di insiemi ciascuno elemento del successivo: 

Dove ogni “cono” rappresenta uno zoom su un elemento che viene poi visto come insieme contenente altri elementi.

Se abbiamo un insieme che appartiene a se stesso, abbiamo qualcosa di questo genere:

Questa immagine richiama subito alla mente, per i matematici, la “Bottiglia di Klein” e vedremo che il nesso non è casuale.

La bottiglia di Klein è una costruzione geometrica (o più precisamente, topologica) che esiste solo in uno spazio a 4 dimensioni e che si può rappresentare in 3 dimensioni con una immagine del genere:

Nello spazio a 4 dimensioni la bottiglia di Klein ha una superficie liscia senza intersezioni con se stessa come avviene invece se costruiamo la bottiglia di Klein in 3 dimensioni.

La cosa curiosa della bottiglia di Klein è il fatto che la parete interna della bottiglia e la parete esterna della bottiglia sono in realtà la stessa parete. Si veda a questo proposito la prima immagine proposta o si pensi di scorrere il dito sulla parete della bottiglia, si scoprirà che è possibile passare da dentro a fuori senza incontrare mai un bordo come avviene invece in una normale bottiglia di acqua. Del resto la bottiglia di Klein non ha bordi come invece hanno le normali bottiglie.

Ma cosa c'entra la bottiglia di Klein con i nostri discorsi. La bottiglia di Klein c'entra perchè rappresenta un contenitore in cui non è possibile distinguere tra dentro e fuori, tra ciò che è contenuto e ciò che non è contenuto. E questo è proprio ciò che succede se accettiamo che un insieme possa appartenere a se stesso, non è più chiara la differenza tra dentro e fuori, tra contenuto e contenitore.

Questo nesso con la topologia è interessante perché la topologia gioca un ruolo fondamentale in matematica e forse possiamo arrischiarci a pensare che la topologia nasce, nella mente del bambino, proprio qua, nel cercare di distinguere tra contenuto e contenitore. Tra seno e latte. Tra latte ed affetto.

Pensiamoci. Poi ci torneremo su.

Peano.

Peano.

Siamo arrivati a discutere la natura profonda dei numeri naturali. Non possiamo non parlare di Peano.

Il geniale matematico Giuseppe Peano diede nel 1889 una precisa e fondamentale caratterizzazione dei numeri interi. Peano definì le proprietà caratterizzanti dei numeri naturali per mezzo di 5 assiomi. (Facciamo notare che gli assiomi di Peano non sono necessari per fondare la matematica se essa viene fatta poggiare sulla teoria assiomatica degli insiemi, essi sono solo un modo di raccontare le proprietà essenziali dei numeri naturali). Nell'enunciare gli assiomi di Peano si usa la funzione “successore” che associa ad ogni numero il suo successore. Gli assiomi di Peano sono i seguenti, scritti nella forma più semplice possibile:

1. 0 è un numero naturale.
2. Per ogni numero naturale n, il successore di n è un numero naturale.
3. Se due numeri naturali hanno lo stesso successore allora essi sono lo stesso numero.
4. 0 non è il successore di nessun numero naturale.
5. Se un insieme K di numeri naturali contiene lo 0 ed è vero che ogni volta che contiene un numero contiene necessariamente anche il successore di tale numero, allora K contiene tutti i numeri naturali.

- Il primo assioma assicura che lo 0 sta nell'insieme dei numeri naturali e con ciò assicura che l'insieme dei numeri naturali non è vuoto; così come un assioma della teoria degli insiemi assicura che l'insieme vuoto esiste e con ciò che la teoria non è vuota.

- Il secondo assioma può essere considerato una freccia, un processo. Dato un numero naturale si può passare al successivo ed esso sarà ancora un numero naturale. Questo assioma coglie l'essenza del processo mentale del contare. Esso coglie il fondamentale processo specificamente umano di separarsi da un numero per immaginare il successivo in una scansione che è intimamente connessa con la scansione del tempo o addirittura con la creazione del movimento del tempo nella mente umana.

- Il terzo assioma assicura che non si creino dei loop come i seguenti, in cui, per esempio. il 2 è successore di due numeri:

- Il quarto assioma assicura che non si creino loop come i seguenti, in cui lo 0 diventa successore di un altro numero o di se stesso:

- Il quinto assioma, detto anche Principio di Induzione, è di importanza fondamentale perché caratterizza un'importante proprietà dei numeri naturali e cioè il fatto che essi si possono ottenere tutti partendo dallo 0 ed applicando a oltranza la funzione “successore”.

Un modo leggermente diverso di enunciare il Principio di Induzione è il seguente. 

E' data una proprietà che ogni numero può avere oppure no. 

Se è vero che:

1. La proprietà vale per lo 0.
2. Ogni volta che la proprietà vale per un numero naturale allora possiamo dedurre che vale anche per il numero successivo.

Allora in queste condizioni, la proprietà deve essere vera per tutti i numeri naturali.

Il principio di induzione mostra in maniera molto chiara che i numeri naturali sono caratterizzati dalla funzione di passaggio al successivo. E' questa freccia, questo processo, questa funzione di passaggio al successivo che è in grado di generare tutti i numeri. Questa è l'essenza e la natura dei numeri naturali, il fatto che passando da uno al successivo si possono ottenere tutti.
Da questo punto di vista la definizione dei numeri come classi di insiemi equipotenti non è molto significativa.

Numerosità.

Numerosità

Dice Boyer¹, noto storico della matematica:

Oggi è ancor più evidente che le capacità di distinguere il numero, la dimensione, l'ordine e la forma, rudimenti di istinto matematico, non sono proprietà esclusiva del genere umano. Esperimenti effettuati con corvi, per esempio, hanno mostrato che almeno certi uccelli sono in grado di distinguere insiemi contenenti fino a quattro elementi. (si veda: Levi Conant, “The Number Concept, Its Origin and Development”, 1923 ed anche H. Kalmus, “Animals as Mathematicians”, Nature, 202, 1964).

La capacità di distinguere numerosità e la capacità di contare non sono parenti a nostro avviso.

Rifiutiamo inoltre l'idea dell'esistenza di un “istinto matematico”.

L'istinto è qualcosa di tipicamente animale. L'istinto o comportamento innato è la tendenza intrinseca di un organismo vivente ad eseguire o mettere in atto un particolare comportamento.
I comportamenti istintivi sono comportamenti automatici che non sono cioè frutto di apprendimento né di scelta personale. L'istinto ha un rapporto piuttosto rigido con ciò a cui mira, difficilmente ottenendo soddisfazione da un oggetto diverso.

La matematica è invece pensiero, creazione, fantasia, immaginazione.

Difficile allora concepire qualcosa come un istinto matematico, si tratta di una contraddizione in termini.

Proseguiamo allora con Boyer, perché ci sembra rappresentativo di un filone di pensiero importante in quanto culturalmente molto diffuso:

In un primo tempo le nozioni primitive di numero, grandezza e forma facevano, forse, riferimento più a contrasti che non a somiglianze: la differenza tra un solo lupo e molti lupi [...] Gradualmente deve essere emerso, dal disorientamento di esperienze caotiche, la consapevolezza che esistono somiglianze: e da questa consapevolezza di somiglianze di numero e di forma trassero origine tanto la scienza della natura quanto la matematica. Le differenze stesse sembrano rinviare a somiglianze: infatti il contrasto tra un solo e molti lupi, tra una pecora e un gregge, tra un albero e una foresta suggerisce che un lupo, una pecora ed un albero hanno qualcosa in comune: la loro unicità.

Nella stessa maniera si sarebbe osservato come certi altri gruppi possano essere messi in corrispondenza biunivoca. Le mani possono essere appaiate con i piedi, con gli occhi, con le orecchie o con le narici.
Questo riconoscimento di una proprietà astratta che certi gruppi hanno in comune, e che chiamiamo numero, rappresenta un grande passo verso la matematica moderna.

Si vuole qui tentare di raccontare come il concetto di numero nasca dal concetto di corrispondenza biunivoca ossia dal concetto di equipotenza: due insiemi sono equipotenti se i loro elementi possono essere messi in corrispondenza biunivoca. I numeri sarebbero il quoziente del mondo modulo la relazione di equipotenza. Questo è anche l'approccio al concetto di numero che si tentava di imporre ai bambini delle elementari quando era in voga l'insiemistica.

Questa visione tuttavia non coglie in nessun modo l'aspetto dinamico del contare, non coglie la forte relazione tra il contare ed il movimento del tempo. Boyer pensa che il concetto di numero sia nato prima del contare. Noi pensiamo che il contare venga prima del concetto di numero. Contare è un movimento della mente collegato al movimento del tempo.

Anche volendo accettare l'idea di numero che Boyer e molti altri propongono non si spiega poi come questi numeri, visti come fotografie di situazioni statiche, si colleghino tra loro. Non vi sarebbe nessuna relazione tra un insieme con 3 mucche ed un insieme con 5 mucche.

Possiamo forse qui citare il metodo Doman². Usando questo metodo i bambini vengono stimolati fin da piccolissimi (fin dal primo o secondo di età) a distinguere numerosità mostrando loro delle schede con dei pallini (esempio, 99 pallini):

Vengono poi abituati a memorizzare il risultato di operazioni tra numerosità: 5 pallini + 42 pallini fa 47 pallini, sempre mostrando delle schede con solo pallini.

Il metodo funziona nel senso che alcuni bambini imparano a dire i numeri molto presto e memorizzano i risultati di molte operazioni fin da molto piccoli. E' stato però studiato che il metodo non ha influenze positive sulla capacità dei bambini di imparare bene la matematica in seguito nella scuola ed anzi è stato riscontrato che i bambini sottoposti a questo metodo vanno spesso in crisi in seconda o terza elementare perché non hanno sviluppato certe abilità connesse con i processi di elaborazione ed hanno allenato invece la mera memorizzazione.

Doman è l'ideatore di un analogo metodo per imparare a leggere prima dei 3 anni³. Sono stati fatti numerosi studi⁴ che mostrano come i bambini sottoposti a questo metodo imparino si a leggere ma perdano la possibilità di comprendere, ricreare e rendere proprio il profondo, bellissimo, umanissimo e complesso processo mentale che porta dal suono al leggere allo scrivere.

[i bambini] nel secondo e terzo anno di scuola cominciavano a peggiorare. Il processo meccanico di apprendimento che avevano utilizzato per imparare precocemente non si adattava all'apprendimento più complesso delle classe avanzate. Sembravano arenarsi in metodi di apprendimento primitivi.⁵

Ci sentiamo di poter dedurre da queste osservazioni che il processo del contare è molto di più del riconoscere numerosità e che il processo del contare sia qualcosa di specificamente umano che non viene imparato dal bambino ma ricreato dalla mente di ogni singolo bambino.

[Nota: i pallini nella figura sono in realtà 272].

1. Carl B.Boyer, Storia della Matematica, Mondadori, 1980, p.1 e seguenti.

2. Doman Glenn; Doman Janet, “Imparare la matematica prima dei tre anni. La rivoluzione gentile”, 1999, Armando Editore.

3. Doman Glenn, “Leggere a tre anni”, 2003, Armando Editore.

4. T. Berry Brazelton, “Il bambino da 0 a 3 anni”, 2003, Rizzoli, p.252.

5. Brazelton, op.cit. p.253.

Pensare l'infinito.

Pensare l'infinito.

Il quinto assioma della teoria degli insiemi tratta dell'infinito e postula l'esistenza di (almeno) un insieme infinito. Anche se per essere precisi l'assioma non parla mai di “infinito” perché non è ancora un concetto con una definizione:

Assioma dell'infinito: Esiste un insieme X tale che {} è in X e ogni volta che y è in X, lo è anche l'unione y U {y} (dove U rappresenta l'unione).

Possiamo immaginare che l'assioma ci stia dicendo che esiste un insieme X che contiene tutti i numeri interi, a questo proposito bisogna definire i numeri interi nel seguente modo.

Definiamo 0 come {}.

Definiamo ora 1 come 0 U {0} ossia {} U {{}} = {{}}

Definiamo poi 2 come 1 U {1} ossia {{}} U {{{}}} = { {}, {{}} }

Definiamo poi 3 come 2 U {2} ossia { {}, {{}}, {{},{{}}} }

ecc.

Con i numeri così definiti l'assioma si traduce in: esiste un insieme che contiene tutti i numeri interi.

L'aspetto che qui ci interessa è l'idea che ogni numero sia in certo senso in grado di generare il successivo numero secondo la regola S(n) = n U {n} dove S(n) è il successivo di n.

Questa possibilità di passare da un numero al successivo, questa possibilità di generare i numeri, di crearli, è qualcosa di specificamente collegato alla fantasia umana. Anche gli animali sono in grado di distinguere certe “numerosità” ma solo come concetto statico: difronte alla figura di 3 chicchi di mais ed alla figura di 8 chicchi di mais, il pulcino sceglie di dirigersi verso la figura con 8 chicchi. E' stato studiato che vari animali sono in grado di distinguere le numerosità fino a 4, 5 o anche un po' di più. Ma gli animali non hanno in nessun modo l'idea del contare.

Dobbiamo allora pensare che l'idea del contare, il processo del contare, siano collegati a qualcosa di specifico degli esseri umani. E' a questa domanda che vogliamo dare una risposta precisa e saremo in grado di farlo dopo aver parlato della Teoria della nascita di Massimo Fagioli. Un vago accenno alla risposta lo troviamo nel nostro paragrafo precedente in cui abbiamo detto che gli assiomi della teoria degli insiemi evocano le immagini di: bambino, bambino e mamma, socialità, infinito. Allora dobbiamo forse pensare che la capacità di contare sia connessa con il movimento (nel tempo) della mente dal sé (io) all'immaginare che ci debba essere un altro essere umano.
Torneremo ampiamente su questo punto.

L'altro aspetto interessante è il fatto che il distinguere numerosità come fanno gli animali è collegato a qualcosa di statico, di fisso che al massimo può portare ai concetti di Uno, Due, Tre, Quattro, Molti. Arrivati cioè a una certa numerosità si passa al concetto di Molti e non interessa più la differenza tra un insieme con 30 chicchi e uno con 32 chicchi.

Mentre il contare è collegato a qualcosa di dinamico, ha in sé il concetto di tempo ed il concetto di processo per cui, siccome il processo si può ripetere, si arriva all'idea di numeri senza fine. Si arriva all'idea di infinito.

Pensare l'infinito è capacità specificamente umana che nasce dal contare come processo dell'immaginazione nel tempo.

Catalogare numerosità è attività specificamente animale che nasce dall'utilità razionale di andare dove ci sono più risorse.

Ne parliamo ancora nel prossimo paragrafo perché ci sembra un punto importante.

Io, noi due, noi, infiniti.

Io, noi due, noi, infiniti.

Concedetemi un paragrafo più di ricerca degli altri. Un paragrafo in cui potrei non essere del tutto preciso, in cui potrei fare degli sbagli. Credo valga la pena di tentare perché la posta è provare a capire meglio alcune dinamiche importanti.

Ci sono strane assonanze tra la teoria degli insiemi e certi aspetti degli esseri umani.

I primi cinque assiomi della teoria si occupano: della definizione insiemistica di identità, del primo ente esistente (l'insieme vuoto), dell'esistenza delle coppie, della costruibilità delle unioni ed infine dell'esistenza di un insieme infinito.

Mi verrebbe da dare a questi cinque assiomi i seguenti nomi: identità, bambino, bambino e mamma, socialità, immaginazione. Perché in essi vi è un crescere della cardinalità degli insiemi di cui si occupano: identità, io, noi due, noi, infiniti.

Ma ovviamente salta all'occhio il fatto che in questa corrispondenza il bambino sarebbe associato all'insieme vuoto e questo non è molto bello. Ed allora, come sempre, penso se non sto sbagliando tutto, se non siano solo strane assonanze quelle che vado trovando. Poi qualcosa mi spinge a provare ad insistere, riconosco alcuni nessi.

Il bambino ha bisogno di creare un primo forte legame con la mamma prima di aprirsi al mondo ed alla socialità.

Gli insiemi hanno bisogno dell'assioma della coppia per poter poi arrivare a costruire insiemi con molti elementi, non basta l'assioma dell'unione. (vedi nota tecnica oltre)

Gli insiemi rappresentano la coppia come due elementi chiusi in uno stesso sacchetto.
Gli insiemi, ovviamente, non riescono e non possono rappresentare in maniera soddisfacente la coppia bambino-mamma ma sembra che la matematica voglia di questa coppia tenere l'essenza per costruire un mondo astratto il cui scopo è studiare le relazioni tra gli oggetti.

Tuttavia gli insiemi nel rappresentare la coppia come due elementi chiusi in un sacchetto perdono qualcosa della verità di una coppia: perdono la relazione, la direzione, la differenza dei ruoli degli elementi. La teoria degli insiemi si ritrova poi a dover rappresentare artificiosamente le relazioni perché altrimenti non può studiare nulla.

Io, noi due, noi, infiniti. Il prossimo assioma parla di infinito e ci porta diritto al cuore della questione. Dove nasce la capacità di contare? Come avviene che gli esseri umani possono contare a oltranza? La capacità di contare è veramente alla base della matematica?

Ho ancora tante cose da raccontarvi.

________________

Nota tecnica:

Abbiamo detto che è interessante notare che nella teoria assiomatica degli insiemi si verifica ciò che si verifica negli esseri umani.
Il neonato ha bisogno di stabilire un rapporto forte con la mamma per poi piano piano aprirsi al mondo ed alle altre relazioni.
Curiosamente anche la strutturazione degli insiemi ha bisogno di un assioma che garantisca l'esistenza della coppia e poi di un assioma che garantisca l'esistenza dell'unione. Si potrebbe pensare, abbiamo detto, che il primo assioma è ridondante ma risulta invece necessario: senza la possibilità di costruire coppie non vi sarebbero neanche degli insiemi iniziali su cui fare delle unioni. La formazione di insiemi via via più grandi avviene nel seguente modo:

{}

{ {} } = { {} , {} }

{ {}, {{}} }

{ {{}} } = { {{}}, {{}} }

{ {}, {{}}, {{{}}} }

...

Vale la pena sottolineare ancora una volta che queste sequenze, ben formate, di parentesi sono ciò che veramente studia la teoria assiomatica degli insiemi e ciò che veramente esiste in matematica, il resto sono tutte costruzioni, definizioni e nomi dati a strutture di questo genere e con complessità via via crescenti. A partire dai numeri come vedremo meglio tra poco.

Essere in relazione con.

Cos'è la matematica?

Alcune definizioni:

Mathematics is the classification and study of all possible patterns. Walter Warwick Sawyer, 1955

Mathematics is a broad-ranging field of study in which the properties and interactions of idealized objects are examined. Dal sito Wolfram MathWorld

The science of structure, order, and relation that has evolved from elemental practices of counting, measuring, and describing the shapes of objects. Encyclopaedia Britannica

A mathematician, like a painter or poet, is a maker of patterns. If his patterns are more permanent than theirs, it is because they are made with ideas. G. H. Hardy, 1940

In generale penso si possa dire che la matematica è lo studio degli schemi, degli ordini, delle relazioni che sussistono tra oggetti di natura astratta.

Coppia.

Se la matematica è lo studio delle relazioni tra oggetti di natura astratta, la teoria assiomatica degli insiemi deve dare la possibilità di mettere tali oggetti in relazione. I primi strumenti fondamentali per andare in questa direzione sono dati dal terzo e dal quarto assioma che permettono di creare nuovi insiemi a partire da altri già esistenti. Nello specifico il terzo assioma permette la costruzione di coppie non ordinate ossia di insiemi con due elementi ed il quarto assioma permette la costruzione dell'insieme unione di altri insiemi dati.

Il terzo assioma della teoria degli insiemi è:

Assioma della coppia: Se x, y sono insiemi, allora lo è anche {x,y}, cioè un insieme contenente x e y come unici elementi.

Detto in parole semplici questo assioma dice che se abbiamo due elementi x e y è possibile creare un insieme che ha come elementi solo x e y e viene denotato con {x, y}. Ricordo che x e y possono a loro volta essere solo insiemi perché gli insiemi sono l'unica cosa che esiste nella teoria assiomatica degli insiemi. Questo assioma serve ad andare nella direzione di dare alla matematica la possibilità di studiare le relazioni tra oggetti: senza poter costruire insiemi che rappresentano coppie di elementi non è possibile per la matematica studiare le relazioni tra gli oggetti. Un insieme con più elementi può essere considerato un modo di mettere tali elementi in relazione.
Possiamo far notare che anche se l'assioma della coppia consente direttamente solo la costruzione di coppie non ordinate, in cui cioè non c'è un primo elemento ed un secondo elemento ma entrambe gli elementi giocano lo stesso ruolo, tale assioma permette anche la costruzione di coppie ordinate per mezzo di un piccolo artificio: dati gli elementi x e y, possiamo costruire la coppia ordinata in cui x è il primo elemento e y è il secondo elemento, nel seguente modo: {x, {y}} o in qualunque altro modo che renda differente il ruolo di x e y, per esempio: {x, {x,y}}, {x, {{},y}}.

Vale la pena sottolineare come il concetto di relazione debba essere modellato per mezzo dell'appartenenza allo stesso insieme e questo può risultare piuttosto artificioso. La matematica è lo studio delle relazioni tra oggetti astratti però la teoria assiomatica degli insiemi punta innanzitutto a

modellizzare il concetto di appartenenza. Vi è qui una sfasatura di fondo tra gli obiettivi della matematica e le sue fondamenta. Si potrebbe immaginare che una matematica che pone come base il concetto di “essere in relazione con” abbia maggiori possibilità di riuscire nell'intento di comprendere le relazioni più nascoste tra gli oggetti. Vedremo che a questo preciso aspetto risponde la teoria delle categorie.

Unione e non gruppo.

Assioma dell'unione: Ogni insieme ha un'unione. Cioè, per ogni insieme x esiste un insieme y i cui elementi sono esattamente gli elementi degli elementi di x.
Detto in parole più semplici dato un insieme x i cui elementi sono insiemi, è possibile costruire un insieme che ha come elementi tutti e soli gli elementi che appartengono ad almeno un insieme di x.

Detto in parole ancora più semplici, se abbiamo degli insiemi x1, x2, x3, ... possiamo creare un insieme che ha come elementi tutti gli elementi di x1 uniti a quelli di x2 uniti a quelli di x3 ecc.

L'assioma dell'unione è ciò che consente la costruzione di raccolte, collezioni, famiglie, classi, ... di insiemi appunto. Si possono prendere elementi da altri insiemi e metterli tutti dento uno stesso contenitore.

L'assioma porta con sé la potenza del poter costruire collezioni a piacimento con la debolezza di costruire appunto solo collezioni senza struttura, ossia collezioni di elementi in cui non è nota e formalizzata la relazione che sussiste tra tali elementi. Vedremo come affronta questo aspetto la teoria delle categorie.

Vuoto, l'insieme.

L'insieme vuoto.

Torniamo allora alla nostra analisi degli assiomi della teoria assiomatica degli insiemi.
Eravamo partiti dal tentare di cogliere le immagini nascoste in questi assiomi e quando dico immagini intendo le immagini di valore umano.
Avevamo già discusso quale fosse il senso di una tale operazione ed eravamo arrivati a un pensiero interessante che è il seguente: se la matematica è creazione della mente umana, come pensiamo, allora ha senso pensare che essa porti con sé tracce del modo di pensare e vedere di chi la matematica l'ha creata, ossia degli uomini e donne che l'hanno creata in un certo modo in certo periodo storico.
Procediamo allora con la nostra analisi degli assiomi della teoria degli insiemi. Avevamo già visto come il primo assioma dica con precisione che ciò che interessa modellare in questa teoria, e ciò su cui si vuole fondare tutta la matematica, è il concetto di “avere”. Avere, possedere e, simmetricamente, appartenere, essere membro di, sono termini che la teoria degli insiemi prende come “primitivi” ossia non definibili con altri termini più elementari.
Abbiamo già parlato di come questo interesse per il concetto di “possedere” potrebbe essere traduzione di un pensiero sull'essere umano e cioè che esso sia tabula rasa, brocca da riempire.
Il secondo assioma della teoria assiomatica degli insiemi tratta dell'insieme vuoto e dice che l'insieme vuoto esiste:

2. Assioma dell'insieme vuoto: Esiste un insieme privo di elementi. Useremo {} per indicare questo insieme.

La teoria assiomatica degli insiemi ha bisogno di poter affermare l'esistenza di qualche oggetto per poter effettuare delle costruzioni con cui fare matematica. Questo assioma garantisce l'esistenza dell'insieme vuoto. (Vi è poi un solo altro assioma esistenziale che è quello che garantisce l'esistenza di un insieme infinito).

Cosa ci racconta questo assioma?

Dopo aver trovato “la tabula rasa” nascosta dietro al primo assioma della teoria degli insiemi ci troviamo con il vuoto nel secondo assioma.

La matematica poggia tutta su un insieme vuoto. E le cose stanno davvero così.

L'insieme vuoto è unico (perché due insiemi senza elementi sono identici, per il primo assioma) ed a partire da esso si costruiscono tutte le altre strutture di cui la matematica necessita. Una cascata infinita di concetti e costruzioni che partono tutte da un insieme vuoto. E non posso non pensare alla ragione stessa che può ragionare su tutto ma che non sa dire su cosa poggia e da dove nasce.

E qua viene quasi da chiedersi: possibile che non vi siano altre possibilità? Possibile che non sia venuto in mente altro che poggiare tutto su un insieme vuoto? Possibile che matematicamente questa sia la scelta più efficiente e potente? Possibile che l'idea di poggiare tutto su un insieme vuoto non abbia un senso ed un significato preciso? Potrebbe trattarsi invece del fatto che quando le immagini non coscienti che vagano nella mente dei matematici e nella cultura del tempo sono quelle di “tabula rasa” e “vuoto affettivo” allora si finisce per creare una matematica che di questi concetti ne fa le fondamenta?

L'unico vero ente della teoria assiomatica degli insiemi è il concetto di contenitore rappresentato nella notazione matematica da due parentesi graffe {}.

I numeri per esempio possono essere rappresentati e costruiti mediante una successione di contenitori annidati come matriosche (diamo una rappresentazione semplificata per non appesantire troppo la trattazione):

0 - {} l'insieme vuoto,

1 - {{}} l'insieme che ha come unico elemento l'insieme vuoto,

2 - {{{}}} l'insieme che ha come unico elemento l'insieme che ha come unico elemento l'insieme vuoto,

3 . {{{{}}}} ecc.

Come si vede l'unica cosa che si salva in questa teoria sono le scatole vuote, i contenitori, le matriosche. E ci si chiede allora se il nostro aver precedentemente definito gli insiemi come dei sacchi di patate non sia già una concessione dal momento che in realtà la matematica è fatta di sacchi vuoti, non ci sono neanche le patate.

Fondare tutto sull'insieme vuoto è un fatto curioso, interessane e strano. Il vuoto non esiste. Non esiste in natura (come abbiamo visto nel paragrafo su Heisenberg). Il vuoto è un'astrazione della mente. Fondare tutto sull'insieme vuoto è allo stesso tempo un atto di astrazione e fantasia ma anche il segno forte di una mancanza. Identificheremo inseguito quale sia questa mancanza.

Come sono fatti gli insiemi possibili?
Di cosa tratta davvero la teoria assiomatica degli insiemi?
Tratta di matriosche di matriosche di matriosche ... vuote, ossia contenitori di contenitori di contenitori vuoti ... qualcosa che possiamo rappresentare con questa figura:

Dove ogni cerchietto senza nulla dentro rappresenta l'insieme vuoto.

O che possiamo rappresentare anche con un albero gerarchico:

Dove ogni segmento verso l'altro rappresenta un contenimento in un contenitore più grande.
O che possiamo rappresentare anche con un grafo gerarchico che tenga conto delle uguaglianze tra insiemi secondo quanto asserito dal primo assioma:

_______________________

Trovo veramente curioso pensare che la matematica tutta si basa su queste bolle vuote

e continuo a pensare che le immagini di senso umano che emergono dalle idee matematiche

debbano avere un valore, appunto, umano, che non siano mere coincidenze e forzature.

Continuo a pensare che cercare di cogliere un pensiero dietro alle idee matematiche

possa portarci a fare delle scoperte ...

Astrazioni.

Astrazioni.

Negli anni 1980 dopo un attento lavoro di ricerca teorica ed empirica si arriva ad un forte ripensamento riguardo alla corrente bourbakista ed in particolare riguardo all'adeguatezza di un'acquisizione diretta da parte dei bambini di concetti e strutture matematiche astratte.
Nel 1987 nella stessa Francia di Bourbaki il Ministero dell'Educazione emana una circolare nella quale è scritto senza mezzi termini che “i simboli dell'insiemistica sono fuori dai programmi, come ogni nozione riguardante gli insiemi”.
L'idea di proporre ai bambini astrazioni matematiche già elaborate senza che essi possano giungervi da soli nega la capacità di organizzare la mente da parte del bambino. Possiamo riassumere quanto stiamo dicendo con una figura:

Passare attraverso i propri pensieri, i propri errori, i propri tentativi rende al bambino la verità della metà raggiunta. Dare ad ogni bambino il tempo di cui necessita perché la sua mente giunga a cogliere le idee sulle quali si sta lavorando fa si che i concetti raggiunti vengano giustamente percepiti come propri perché saranno frutto di una propria elaborazione personale che seguirà tempi e modi del tutto personali. Anche nel caso che il bambino non riesca a cogliere tutte le idee sulle quali si sta lavorando avrà comunque colto l'importanza di provare a pensare ed elaborare nuovi concetti in autonomia. L'insegnamento della matematica dovrebbe essere innanzitutto abitudine a pensare. L'insegnamento della matematica dovrebbe sottolineare in maniera estrema l'importanza del processo del pensiero piuttosto che la meta, la regola, il risultato. Da questo punto di vista l'insegnamento della matematica nelle nostre scuole mi sembra ancora molto indietro.

Nella mia esperienza personale ho sempre trovato che è difficile trovare ragazzi a cui non piace la matematica se la matematica è gioco del pensiero.
Torneremo su questi aspetti quando avremo maggiori strumenti per difendere le nostre posizioni teoriche.

Bourbaki ed immagni.

Torniamo a Bourbaki.

Riassumiamo.
Abbiamo volato e sterzato lasciandoci guidare dai nessi.
Siamo partiti con l'idea di cogliere le immagini di valore umano contenute o nascoste nella teoria assiomatica degli insiemi.
Ci siamo poi chiesti chi aveva introdotto l'insiemistica nelle scuole. Abbiamo detto che era stato fondamentalmente Bourbaki e ci siamo chiesti perché c'era stata questa volontà di introdurre l'insiemistica nelle scuole. Non abbiamo ancora del tutto risposto ma una prima risposta l'abbiamo trovata nella spinta alla sistematizzazione della matematica in voga ad inizio del 1900.
Abbiamo per questo parlato di Russell e Hilbert e poi di Gödel e dei suoi teoremi.
Gödel ci ha poi portato ad interessarci del principio di indeterminazione di Heisenberg e, con questo, di teorie del tutto. Da lì siamo arrivati alla questione del tempo.

Vale la pena notare che anche se abbiamo vagato guidati dai nessi abbiamo toccato temi che risultano centrali, come si spera risulterà piano piano più chiaro, per il nostro tentativo di cogliere come nasce la matematica nella mente umana.

Riprendiamo allora il nostro filo e rispondiamo con più chiarezza al perché Bourbaki volesse fortemente introdurre l'insiemistica nelle scuole fin dalla scuola primaria. Ci sembra di poter cogliere vari motivi. Iniziamo da quelli più evidenti, storici, razionali.

Sistematizzazione. Bourbaki voleva salvare, nella misura in cui era possibile dopo Gödel, l'idea di una matematica formale e sistematizzata. Bourbaki aveva ravvisato nella teoria assiomatica degli insiemi l'unica base possibile per una matematica formale e rigorosa e voleva diffondere l'uso di un'impostazione astratta basata sugli insiemi iniziando dalle scuole.

Strutture e morfismi. In tutto il 1900 si diffonde sempre più in matematica l'idea che lo strumento principe per scoprire nuovi risultati sia quello di studiare non tanto gli oggetti astratti in sé ma gli oggetti con una data struttura e le possibili trasformazioni (morfismi) tra oggetti con la stessa struttura. Questo salto di astrazione nel passare dallo studiare oggetti astratti a studiare le trasformazioni tra gli oggetti aveva in qualche modo portato a pensare che bisognasse premere verso l'astrazione anche nell'insegnamento della matematica.

Tuttavia i precedenti motivi non colgono, io penso, la vera spinta che portava Bourbaki ed altri a pensare che introdurre l'astrazione pura nella scuola primaria fosse utile e necessario. Veniamo allora ai motivi più latenti e collegati alle immagini nascoste.

Tabula rasa. Come abbiamo visto la teoria assiomatica degli insiemi riduce la matematica al concetto di contenitore (e, come vedremo, riduce in realtà la matematica al concetto di contenitore vuoto). Se la matematica è creazione umana, come pensiamo, e se la matematica porta perciò con se un'idea di ciò che gli esseri umani sono allora possiamo forse pensare che una matematica basata sulla teoria assiomatica degli insiemi porta con se l'idea degli esseri umani come tabulae rasae. Oppure possiamo pensare l'esatto contrario e dire che il pensiero culturale della tabula rasa diffuso nel 1800 porta a strutturare anche la matematica su questo modello ed a scegliere una matematica in cui il concetto di contenitore la fa da padrone.
L'idea che gli esseri umani siano recipienti da riempire può allora portare all'idea che le astrazioni vadano insegnate ed imposte fin dalla scuola primaria perché il bambino non sarebbe in grado di farle. L'idea dell'essere umano come contenitore da riempire di concetti nega la capacità di immaginare del bambino e con ciò nega anche la capacità di creare astrazioni da parte del bambino. La matematica non sarebbe creazione dell'essere umano, di ogni singolo essere umano, ma creazione dei padri o di dio oppure eredità evolutiva.
Se le cose stanno così, restano solo due modi per insegnare la matematica: imporre le astrazioni oppure rinunciare del tutto ed insegnare semplici regoline di utilità quotidiana che poco hanno a che fare con le capacità di astrazione della mente.

Questa immagine latente della tabula rasa potrebbe essere uno dei motivi forti che hanno portato Bourbaki a pensare che l'insiemistica andasse imposta ai bambini fin da piccoli.

Immagini. Nella sua ricerca di astrazione Bourbaki aveva esplicitato e verbalizzato un principio che era quello di eliminare nei suoi trattati e nel suo procedere qualunque uso e riferimento a disegni e figure ritenendo che esse potessero fuorviare la mente incanalandola in casi specifici non in grado di cogliere l'astrazione più generale possibile. Ci potremmo chiedere se quest'avversione per disegni e figure non celasse un'avversione per le immagini ossia per il senso umano e profondo delle cose. In tal caso l'avversione per le immagini andrebbe perfettamente d'accordo con la negazione della capacità di immaginare che abbiamo appena riscontrato.

Categorie. Spingiamoci oltre con le nostre ipotesi.
Negli anni 1950 si stava diffondendo un nuovo concetto matematico: si tratta del concetto di categoria con i suoi oggetti e le sue frecce. Parleremo con calma più avanti di tali concetti ma diciamo qua che le categorie rivoluzionano il modo di concepire le basi stesse della matematica e danno la possibilità di fondare la matematica in un modo che risulta in grado di raggiungere livelli di astrazione maggiore e perciò risultati più profondi e complessi. Lo scopo principale delle categorie, a differenza degli insiemi, è quello di cogliere fin da subito il concetto di relazione piuttosto che il concetto di contenitore.
Bourbaki era già nel pieno della sua produzione di trattati che organizzavano la matematica in maniera, secondo il gruppo, esaustiva e definitiva. E' noto che Bourbaki rinunciò all'idea di riorganizzare tutto il lavoro che aveva fatto per tenere in conto del nuovo importante concetto di categoria. Grothendieck, uno dei più grandi matematici di sempre e membro fondamentale di Bourbaki, si allontanò dal gruppo proprio per il rifiuto di questo di ricominciare tutto il lavoro usando il concetto di categoria.
Possiamo allora chiederci se dietro a questa insistenza di Bourbaki sull'introduzione dell'insiemistica nelle scuole non ci fosse il tentativo di oscurare in qualche misura una nuova nascente possibilità e più ancora il senso di questa nuova possibilità. Ossia, possiamo chiederci se Bourbaki voleva che non emergesse il concetto di categoria perché le categorie colgono il concetto di relazione mentre gli insiemi si fermano al concetto di contenitore.

Da un lato quindi avremmo la teoria degli insiemi con le correlate immagini di recipiente, contenitore, tabula rasa, matriosca e con, in qualche misura, la negazione della capacità di immaginare.
Dall'altro lato avremmo invece la teoria delle categorie con, come vedremo, le correlate immagini di relazione, freccia, capacità di immaginare.

E' una ricerca. Tutto da vedere, tutto da scoprire. Proseguiremo nei prossimi paragrafi.

Concludiamo dicendo che “la ragione fonda il suo essere sulla negazione della capacità di immaginare”. (Massimo Fagioli in ”Pulsione è realtà che, da sola, non esiste”, Left n.6 2015).

Il problema del tempo

Il problema del tempo

Uno dei grandi problemi nel tentare di unificare la teoria quantistica dei campi
con la teoria della relatività è la questione del tempo.

Nella teoria quantistica l'evoluzione di un sistema viene scandita dal tempo ed il sistema
è in grado di predire le probabilità degli eventi ad un determinato tempo futuro. Il tempo in questa
teoria ha un ruolo speciale in quanto viene considerato come una variabile assoluta e indipendente,
come un parametro esterno al sistema stesso. In particolare nella teoria quantistica ha senso
parlare di misurazioni fatte ad un determintato tempo (ed è per mezzo di tali misurazioni
che una distribuzione di probabilità diventa un evento specifico ad un determinato tempo).

Nella teoria della relatività lo spazio-tempo non è un oggetto assoluto esterno al sistema,
esso è un oggetto dinamico in grado di cambiare in funzione delle proprietà del sistema stesso:
massa, energia, velocità. Vi è per esempio una reazione dello spazio-tempo alla presenza di materia.
Nella teoria della relatività ogni osservatore ha il suo orologio che scandisce il tempo in maniera diversa dagli altri, non esiste un tempo assoluto a cui riferirsi. Non ha senso, per esempio, parlare di eventi simultanei e, addirittura, non ha senso dire che l'evento A è avvenuto prima dell'evento B
perché per un altro osservatore lo stesso evento B potrebbe essere stato osservato prima dello stesso evento A (e non per errori di misura, ma come reltà dei fatti).
Questa profondamente diversa concezione del tempo rende molto difficile l'unificazione delle due teorie.

Vi è forse a monte anche un problema di definizione della nozione di tempo.
Non è facile definire il tempo.
Si potrebbe dire che il tempo è ciò che gli orologi misurano ma si entrerebbe in definizioni circolari.
Si potrebbe dire che il tempo è ciò che fa si che non tutti gli eventi siano simultanei ma ci si troverebbe a dover definire la simultaneità.
Dare una definizione del concetto di tempo è difficilissimo perché il tempo è uno dei contenitori,
dei riferimenti di base, su cui poggiano tutte le nostre nozioni, visioni, percezioni, definizioni.

Questo nostro specifico interesse in questa trattazione per il concetto di tempo deriva dal fatto che, come vedremo, la nascita del pensiero umano, e con questo anche della matematica,
è strettamente legata alla nozione di tempo.

Un problema molto delicato è capire quanto il concetto di tempo non sia, in qualche misura,
un modo specificamente umano di percepire il mondo. Ossia, il fatto che noi esseri umani
percepiamo il mondo intorno a noi con tre dimensioni di spazio ed una di tempo potrebbe
essere un nostro modo di percepire il mondo senza che questo corrisponda alla realtà delle cose
(le attuali teorie fisiche ipotizzano per esempio che le dimensioni di spazio siano molto più di tre).

Vi è infine un ultimo aspetto significativo e riguarda la cosiddetta "freccia del tempo" ossia
il fatto che il tempo, a differenza dello spazio, ha un verso in cui scorre.
Anche se le leggi della fisica delle particelle sono simmetriche rispetto al tempo, per cui
se il tempo scorresse a rovescio tutto andrebbe a rovescio a livello microspico,
a livello macrospico si osservano fenomi che rendono il tempo asimmetrico e lo orientano in un verso. Tra questi riportiamo in seguenti che ci sembrano molto significativi.

• Entropia. Il tempo scorre nella direzione in cui aumenta il disordine dell'universo. In parole semplici: una pila di scatole lasciate alle intemperie tenderà a smontarsi ed è poco probabile che una bufera di vento la rimetta in piedi. Questa tendenza al disordine che mostrano tutti i sistemi fisici dà un verso al tempo e può essere usata per distinguere il prima dal poi. "Poi" è in generale dove c'è più caos.
  
• Incertezza. Il principio di indeterminazione di Heisenberg comporta una correlazione tra la conoscenza che possiamo avere delle variabili di un sistema (non si può per esempio conoscere con precisione velocità e posizione di una particella). Via via che passa il tempo aumenta l'incertezza della conoscenza in quanto aumenta la correlazione (entanglement) tra le variabili che descrivono lo stato delle particelle dell'universo. Questo aumento della correlazione tra variabili del sistema dà un verso al tempo. [Forse torneremo sul concetto di entanglement perchè sembra nascondere qualcosa di importante e curioso ...]
  
• Memoria. Vi è un'ovvia orientazione del tempo, al di là dei ragionamenti fisici, data dal nostro modo di percepire la realtà: ci si ricorda del passato e non del futuro, ovviamente.

Nella nostra trattazione il tempo giocherà un ruolo fondamentale quando, a breve, tenteremo di descrivere la Teoria della Nascita di Massimo Fagioli.