Latte in Bottiglia.

Ben fondatezza.

L'assioma di ben fondatezza ha delle strette connessioni con l'argomento di cui stavamo parlando ossia con i numeri naturali e la loro struttura come identificata da Peano.
Ci sono vari modi di enunciare l'assioma di “Ben fondatezza”. Per non rendere la nostra trattazione troppo complessa, lo enunciamo qua nel seguente modo che risulta facilmente comprensibile:

Assioma di fondatezza: Non esistono successioni infinite di insiemi ciascuno avente fra i suoi elementi il successivo.

Ossia non possono esistere degli insiemi A₁, A₂, A₃, A₄, .... tali che A₁ ha come elemento A₂ che ha come elemento A₃ che ha come elemento A₄ e così via senza fine:

A1 ϶ A2 ϶ A3 ϶ A4 ϶ A5 ϶ A6 ϶ A7 ϶ ...
(dove ϶ significa “ha fra i suoi elementi”)

Questo assioma in particolare evita che un insieme possa essere elemento di se stesso, infatti se X fosse elemento di X allora si potrebbe costruire una successione infinita di insiemi ciascuno avente fra i suoi elementi il successivo semplicemente prendendo tutti gli elementi della successione uguali a X:

X ϶ X ϶ X ϶ X ϶ X ϶ X ...

L'assioma evita in generale anche l'esistenza di loop di appartenenza di questo genere:

A1 ϶ A2 ϶ A3 ϶ A4 ϶ A1

Perché anche questi portano direttamente alla costruzione di successioni discendenti infinite.

Le successioni discendenti infinite sono come pozzi senza fine, come pacchetti che contengono pacchetti che contengono pacchetti ... a oltranza senza arrivare mai a una fine, a un contenuto oltre i contenitori. L'assioma di ben fondatezza vuole ed esige che gli insiemi abbiano un contenuto, foss'anche tale contenuto, come sappiamo, l'insieme vuoto.

Abbiamo visto che i numeri naturali vengono definiti nel seguente modo.

Definiamo 0 come {}.

Definiamo ora 1 come 0 U {0} ossia {} U {{}} = {{}}

Definiamo poi 2 come 1 U {1} ossia {{}} U {{{}}} = { {}, {{}} }

Definiamo poi 3 come 2 U {2} ossia { {}, {{}}, {{},{{}}} }

ecc.

In questo modo abbiamo che la nozione di “successore” di Peano si riduce alla nozione insiemistica di “ha come elemento”, infatti risulta dalla definizione che

0 ∈ 1 ∈ 2 ∈ 3 ∈ 4 ∈ 5 ...

(dove ∈ significa “appartiene a”)

Questo porta a un'analogia tra alcuni degli assiomi degli insiemi (o dirette conseguenze di essi) e gli assiomi di Peano.

• “Esiste l'insieme vuoto” corrisponde a “Lo 0 è un numero naturale”.
• “Nessun insieme appartiene all'insieme vuoto” corrisponde a “Lo 0 non è successore di nessun numero naturale”.
• “Si può costruire l'insieme coppia” ha come conseguenza che “esiste il successore di ogni numero”.
• “Nessun insieme appartiene a se stesso” corrisponde a “nessun numero naturale è successore di se stesso”.
• “Non esistono loop di appartenenza” corrisponde a “nessun numero può essere il successore di due numeri naturali distinti”.
• “Non esistono successioni discendenti infinite” corrisponde a “ogni sottoinsieme dei numeri naturali ha un numero minimo” principio che a sua volta è equivalente al principio di induzione.

In questo modo la teoria degli insiemi riesce a definire i numeri naturali ed a catturarne le proprietà. Come si vede la relazione "avere come successore" viene ridotta alla relazione "appartenere a" ed è proprio questo dover ridurre tutte le relazioni alla relazione di appartenenza che stiamo cercando di segnalare come limite della teoria degli insiemi. 

____

Vi è un interessante nesso tra l'assioma di ben fondatezza, la topologia (di cui parleremo in un prossimo paragrafo) ed il senso umano che si può attribuire a queste costruzioni.

Abbiamo già detto del fatto che l'assioma di ben fondatezza è stato introdotto per evitare il Paradosso di Russell e di come si possa pensare che l'assioma di ben fondatezza parli indirettamente del fatto che la razionalità ha bisogno di basi. Oppure, di come il pensiero abbia bisogno di contenuti per avere senso. Ci siamo lamentati più volte del fatto che gli insiemi sono limitati nel cogliere le relazioni tra gli oggetti. Abbiamo più volte, forse anche ingiustamente, sottolineato il fatto che gli insiemi sono solo sacchi di patate. Abbiamo poi visto che non ci sono in verità neanche le patate e ci eravamo abituati all'idea che l'unico contenuto finale dei contenitori sia l'insieme vuoto. L'assioma di ben fondatezza blocca dal rischio di far poggiare tutto su catene di contenitori senza fine

[ [ [ [ [ [ [ [ [ ... ] ] ] ] ] ] ] ] ]

Questo per quanto riguarda il senso umano.

Veniamo allora al nesso con la topologia. Supponiamo, contro l'assioma di ben fondatezza, che esista un loop di insiemi ciascuno elemento del successivo: 

Dove ogni “cono” rappresenta uno zoom su un elemento che viene poi visto come insieme contenente altri elementi.

Se abbiamo un insieme che appartiene a se stesso, abbiamo qualcosa di questo genere:

Questa immagine richiama subito alla mente, per i matematici, la “Bottiglia di Klein” e vedremo che il nesso non è casuale.

La bottiglia di Klein è una costruzione geometrica (o più precisamente, topologica) che esiste solo in uno spazio a 4 dimensioni e che si può rappresentare in 3 dimensioni con una immagine del genere:

Nello spazio a 4 dimensioni la bottiglia di Klein ha una superficie liscia senza intersezioni con se stessa come avviene invece se costruiamo la bottiglia di Klein in 3 dimensioni.

La cosa curiosa della bottiglia di Klein è il fatto che la parete interna della bottiglia e la parete esterna della bottiglia sono in realtà la stessa parete. Si veda a questo proposito la prima immagine proposta o si pensi di scorrere il dito sulla parete della bottiglia, si scoprirà che è possibile passare da dentro a fuori senza incontrare mai un bordo come avviene invece in una normale bottiglia di acqua. Del resto la bottiglia di Klein non ha bordi come invece hanno le normali bottiglie.

Ma cosa c'entra la bottiglia di Klein con i nostri discorsi. La bottiglia di Klein c'entra perchè rappresenta un contenitore in cui non è possibile distinguere tra dentro e fuori, tra ciò che è contenuto e ciò che non è contenuto. E questo è proprio ciò che succede se accettiamo che un insieme possa appartenere a se stesso, non è più chiara la differenza tra dentro e fuori, tra contenuto e contenitore.

Questo nesso con la topologia è interessante perché la topologia gioca un ruolo fondamentale in matematica e forse possiamo arrischiarci a pensare che la topologia nasce, nella mente del bambino, proprio qua, nel cercare di distinguere tra contenuto e contenitore. Tra seno e latte. Tra latte ed affetto.

Pensiamoci. Poi ci torneremo su.

Peano.

Peano.

Siamo arrivati a discutere la natura profonda dei numeri naturali. Non possiamo non parlare di Peano.

Il geniale matematico Giuseppe Peano diede nel 1889 una precisa e fondamentale caratterizzazione dei numeri interi. Peano definì le proprietà caratterizzanti dei numeri naturali per mezzo di 5 assiomi. (Facciamo notare che gli assiomi di Peano non sono necessari per fondare la matematica se essa viene fatta poggiare sulla teoria assiomatica degli insiemi, essi sono solo un modo di raccontare le proprietà essenziali dei numeri naturali). Nell'enunciare gli assiomi di Peano si usa la funzione “successore” che associa ad ogni numero il suo successore. Gli assiomi di Peano sono i seguenti, scritti nella forma più semplice possibile:

1. 0 è un numero naturale.
2. Per ogni numero naturale n, il successore di n è un numero naturale.
3. Se due numeri naturali hanno lo stesso successore allora essi sono lo stesso numero.
4. 0 non è il successore di nessun numero naturale.
5. Se un insieme K di numeri naturali contiene lo 0 ed è vero che ogni volta che contiene un numero contiene necessariamente anche il successore di tale numero, allora K contiene tutti i numeri naturali.

- Il primo assioma assicura che lo 0 sta nell'insieme dei numeri naturali e con ciò assicura che l'insieme dei numeri naturali non è vuoto; così come un assioma della teoria degli insiemi assicura che l'insieme vuoto esiste e con ciò che la teoria non è vuota.

- Il secondo assioma può essere considerato una freccia, un processo. Dato un numero naturale si può passare al successivo ed esso sarà ancora un numero naturale. Questo assioma coglie l'essenza del processo mentale del contare. Esso coglie il fondamentale processo specificamente umano di separarsi da un numero per immaginare il successivo in una scansione che è intimamente connessa con la scansione del tempo o addirittura con la creazione del movimento del tempo nella mente umana.

- Il terzo assioma assicura che non si creino dei loop come i seguenti, in cui, per esempio. il 2 è successore di due numeri:

- Il quarto assioma assicura che non si creino loop come i seguenti, in cui lo 0 diventa successore di un altro numero o di se stesso:

- Il quinto assioma, detto anche Principio di Induzione, è di importanza fondamentale perché caratterizza un'importante proprietà dei numeri naturali e cioè il fatto che essi si possono ottenere tutti partendo dallo 0 ed applicando a oltranza la funzione “successore”.

Un modo leggermente diverso di enunciare il Principio di Induzione è il seguente. 

E' data una proprietà che ogni numero può avere oppure no. 

Se è vero che:

1. La proprietà vale per lo 0.
2. Ogni volta che la proprietà vale per un numero naturale allora possiamo dedurre che vale anche per il numero successivo.

Allora in queste condizioni, la proprietà deve essere vera per tutti i numeri naturali.

Il principio di induzione mostra in maniera molto chiara che i numeri naturali sono caratterizzati dalla funzione di passaggio al successivo. E' questa freccia, questo processo, questa funzione di passaggio al successivo che è in grado di generare tutti i numeri. Questa è l'essenza e la natura dei numeri naturali, il fatto che passando da uno al successivo si possono ottenere tutti.
Da questo punto di vista la definizione dei numeri come classi di insiemi equipotenti non è molto significativa.

Numerosità.

Numerosità

Dice Boyer¹, noto storico della matematica:

Oggi è ancor più evidente che le capacità di distinguere il numero, la dimensione, l'ordine e la forma, rudimenti di istinto matematico, non sono proprietà esclusiva del genere umano. Esperimenti effettuati con corvi, per esempio, hanno mostrato che almeno certi uccelli sono in grado di distinguere insiemi contenenti fino a quattro elementi. (si veda: Levi Conant, “The Number Concept, Its Origin and Development”, 1923 ed anche H. Kalmus, “Animals as Mathematicians”, Nature, 202, 1964).

La capacità di distinguere numerosità e la capacità di contare non sono parenti a nostro avviso.

Rifiutiamo inoltre l'idea dell'esistenza di un “istinto matematico”.

L'istinto è qualcosa di tipicamente animale. L'istinto o comportamento innato è la tendenza intrinseca di un organismo vivente ad eseguire o mettere in atto un particolare comportamento.
I comportamenti istintivi sono comportamenti automatici che non sono cioè frutto di apprendimento né di scelta personale. L'istinto ha un rapporto piuttosto rigido con ciò a cui mira, difficilmente ottenendo soddisfazione da un oggetto diverso.

La matematica è invece pensiero, creazione, fantasia, immaginazione.

Difficile allora concepire qualcosa come un istinto matematico, si tratta di una contraddizione in termini.

Proseguiamo allora con Boyer, perché ci sembra rappresentativo di un filone di pensiero importante in quanto culturalmente molto diffuso:

In un primo tempo le nozioni primitive di numero, grandezza e forma facevano, forse, riferimento più a contrasti che non a somiglianze: la differenza tra un solo lupo e molti lupi [...] Gradualmente deve essere emerso, dal disorientamento di esperienze caotiche, la consapevolezza che esistono somiglianze: e da questa consapevolezza di somiglianze di numero e di forma trassero origine tanto la scienza della natura quanto la matematica. Le differenze stesse sembrano rinviare a somiglianze: infatti il contrasto tra un solo e molti lupi, tra una pecora e un gregge, tra un albero e una foresta suggerisce che un lupo, una pecora ed un albero hanno qualcosa in comune: la loro unicità.

Nella stessa maniera si sarebbe osservato come certi altri gruppi possano essere messi in corrispondenza biunivoca. Le mani possono essere appaiate con i piedi, con gli occhi, con le orecchie o con le narici.
Questo riconoscimento di una proprietà astratta che certi gruppi hanno in comune, e che chiamiamo numero, rappresenta un grande passo verso la matematica moderna.

Si vuole qui tentare di raccontare come il concetto di numero nasca dal concetto di corrispondenza biunivoca ossia dal concetto di equipotenza: due insiemi sono equipotenti se i loro elementi possono essere messi in corrispondenza biunivoca. I numeri sarebbero il quoziente del mondo modulo la relazione di equipotenza. Questo è anche l'approccio al concetto di numero che si tentava di imporre ai bambini delle elementari quando era in voga l'insiemistica.

Questa visione tuttavia non coglie in nessun modo l'aspetto dinamico del contare, non coglie la forte relazione tra il contare ed il movimento del tempo. Boyer pensa che il concetto di numero sia nato prima del contare. Noi pensiamo che il contare venga prima del concetto di numero. Contare è un movimento della mente collegato al movimento del tempo.

Anche volendo accettare l'idea di numero che Boyer e molti altri propongono non si spiega poi come questi numeri, visti come fotografie di situazioni statiche, si colleghino tra loro. Non vi sarebbe nessuna relazione tra un insieme con 3 mucche ed un insieme con 5 mucche.

Possiamo forse qui citare il metodo Doman². Usando questo metodo i bambini vengono stimolati fin da piccolissimi (fin dal primo o secondo di età) a distinguere numerosità mostrando loro delle schede con dei pallini (esempio, 99 pallini):

Vengono poi abituati a memorizzare il risultato di operazioni tra numerosità: 5 pallini + 42 pallini fa 47 pallini, sempre mostrando delle schede con solo pallini.

Il metodo funziona nel senso che alcuni bambini imparano a dire i numeri molto presto e memorizzano i risultati di molte operazioni fin da molto piccoli. E' stato però studiato che il metodo non ha influenze positive sulla capacità dei bambini di imparare bene la matematica in seguito nella scuola ed anzi è stato riscontrato che i bambini sottoposti a questo metodo vanno spesso in crisi in seconda o terza elementare perché non hanno sviluppato certe abilità connesse con i processi di elaborazione ed hanno allenato invece la mera memorizzazione.

Doman è l'ideatore di un analogo metodo per imparare a leggere prima dei 3 anni³. Sono stati fatti numerosi studi⁴ che mostrano come i bambini sottoposti a questo metodo imparino si a leggere ma perdano la possibilità di comprendere, ricreare e rendere proprio il profondo, bellissimo, umanissimo e complesso processo mentale che porta dal suono al leggere allo scrivere.

[i bambini] nel secondo e terzo anno di scuola cominciavano a peggiorare. Il processo meccanico di apprendimento che avevano utilizzato per imparare precocemente non si adattava all'apprendimento più complesso delle classe avanzate. Sembravano arenarsi in metodi di apprendimento primitivi.⁵

Ci sentiamo di poter dedurre da queste osservazioni che il processo del contare è molto di più del riconoscere numerosità e che il processo del contare sia qualcosa di specificamente umano che non viene imparato dal bambino ma ricreato dalla mente di ogni singolo bambino.

[Nota: i pallini nella figura sono in realtà 272].

1. Carl B.Boyer, Storia della Matematica, Mondadori, 1980, p.1 e seguenti.

2. Doman Glenn; Doman Janet, “Imparare la matematica prima dei tre anni. La rivoluzione gentile”, 1999, Armando Editore.

3. Doman Glenn, “Leggere a tre anni”, 2003, Armando Editore.

4. T. Berry Brazelton, “Il bambino da 0 a 3 anni”, 2003, Rizzoli, p.252.

5. Brazelton, op.cit. p.253.

Pensare l'infinito.

Pensare l'infinito.

Il quinto assioma della teoria degli insiemi tratta dell'infinito e postula l'esistenza di (almeno) un insieme infinito. Anche se per essere precisi l'assioma non parla mai di “infinito” perché non è ancora un concetto con una definizione:

Assioma dell'infinito: Esiste un insieme X tale che {} è in X e ogni volta che y è in X, lo è anche l'unione y U {y} (dove U rappresenta l'unione).

Possiamo immaginare che l'assioma ci stia dicendo che esiste un insieme X che contiene tutti i numeri interi, a questo proposito bisogna definire i numeri interi nel seguente modo.

Definiamo 0 come {}.

Definiamo ora 1 come 0 U {0} ossia {} U {{}} = {{}}

Definiamo poi 2 come 1 U {1} ossia {{}} U {{{}}} = { {}, {{}} }

Definiamo poi 3 come 2 U {2} ossia { {}, {{}}, {{},{{}}} }

ecc.

Con i numeri così definiti l'assioma si traduce in: esiste un insieme che contiene tutti i numeri interi.

L'aspetto che qui ci interessa è l'idea che ogni numero sia in certo senso in grado di generare il successivo numero secondo la regola S(n) = n U {n} dove S(n) è il successivo di n.

Questa possibilità di passare da un numero al successivo, questa possibilità di generare i numeri, di crearli, è qualcosa di specificamente collegato alla fantasia umana. Anche gli animali sono in grado di distinguere certe “numerosità” ma solo come concetto statico: difronte alla figura di 3 chicchi di mais ed alla figura di 8 chicchi di mais, il pulcino sceglie di dirigersi verso la figura con 8 chicchi. E' stato studiato che vari animali sono in grado di distinguere le numerosità fino a 4, 5 o anche un po' di più. Ma gli animali non hanno in nessun modo l'idea del contare.

Dobbiamo allora pensare che l'idea del contare, il processo del contare, siano collegati a qualcosa di specifico degli esseri umani. E' a questa domanda che vogliamo dare una risposta precisa e saremo in grado di farlo dopo aver parlato della Teoria della nascita di Massimo Fagioli. Un vago accenno alla risposta lo troviamo nel nostro paragrafo precedente in cui abbiamo detto che gli assiomi della teoria degli insiemi evocano le immagini di: bambino, bambino e mamma, socialità, infinito. Allora dobbiamo forse pensare che la capacità di contare sia connessa con il movimento (nel tempo) della mente dal sé (io) all'immaginare che ci debba essere un altro essere umano.
Torneremo ampiamente su questo punto.

L'altro aspetto interessante è il fatto che il distinguere numerosità come fanno gli animali è collegato a qualcosa di statico, di fisso che al massimo può portare ai concetti di Uno, Due, Tre, Quattro, Molti. Arrivati cioè a una certa numerosità si passa al concetto di Molti e non interessa più la differenza tra un insieme con 30 chicchi e uno con 32 chicchi.

Mentre il contare è collegato a qualcosa di dinamico, ha in sé il concetto di tempo ed il concetto di processo per cui, siccome il processo si può ripetere, si arriva all'idea di numeri senza fine. Si arriva all'idea di infinito.

Pensare l'infinito è capacità specificamente umana che nasce dal contare come processo dell'immaginazione nel tempo.

Catalogare numerosità è attività specificamente animale che nasce dall'utilità razionale di andare dove ci sono più risorse.

Ne parliamo ancora nel prossimo paragrafo perché ci sembra un punto importante.

Io, noi due, noi, infiniti.

Io, noi due, noi, infiniti.

Concedetemi un paragrafo più di ricerca degli altri. Un paragrafo in cui potrei non essere del tutto preciso, in cui potrei fare degli sbagli. Credo valga la pena di tentare perché la posta è provare a capire meglio alcune dinamiche importanti.

Ci sono strane assonanze tra la teoria degli insiemi e certi aspetti degli esseri umani.

I primi cinque assiomi della teoria si occupano: della definizione insiemistica di identità, del primo ente esistente (l'insieme vuoto), dell'esistenza delle coppie, della costruibilità delle unioni ed infine dell'esistenza di un insieme infinito.

Mi verrebbe da dare a questi cinque assiomi i seguenti nomi: identità, bambino, bambino e mamma, socialità, immaginazione. Perché in essi vi è un crescere della cardinalità degli insiemi di cui si occupano: identità, io, noi due, noi, infiniti.

Ma ovviamente salta all'occhio il fatto che in questa corrispondenza il bambino sarebbe associato all'insieme vuoto e questo non è molto bello. Ed allora, come sempre, penso se non sto sbagliando tutto, se non siano solo strane assonanze quelle che vado trovando. Poi qualcosa mi spinge a provare ad insistere, riconosco alcuni nessi.

Il bambino ha bisogno di creare un primo forte legame con la mamma prima di aprirsi al mondo ed alla socialità.

Gli insiemi hanno bisogno dell'assioma della coppia per poter poi arrivare a costruire insiemi con molti elementi, non basta l'assioma dell'unione. (vedi nota tecnica oltre)

Gli insiemi rappresentano la coppia come due elementi chiusi in uno stesso sacchetto.
Gli insiemi, ovviamente, non riescono e non possono rappresentare in maniera soddisfacente la coppia bambino-mamma ma sembra che la matematica voglia di questa coppia tenere l'essenza per costruire un mondo astratto il cui scopo è studiare le relazioni tra gli oggetti.

Tuttavia gli insiemi nel rappresentare la coppia come due elementi chiusi in un sacchetto perdono qualcosa della verità di una coppia: perdono la relazione, la direzione, la differenza dei ruoli degli elementi. La teoria degli insiemi si ritrova poi a dover rappresentare artificiosamente le relazioni perché altrimenti non può studiare nulla.

Io, noi due, noi, infiniti. Il prossimo assioma parla di infinito e ci porta diritto al cuore della questione. Dove nasce la capacità di contare? Come avviene che gli esseri umani possono contare a oltranza? La capacità di contare è veramente alla base della matematica?

Ho ancora tante cose da raccontarvi.

________________

Nota tecnica:

Abbiamo detto che è interessante notare che nella teoria assiomatica degli insiemi si verifica ciò che si verifica negli esseri umani.
Il neonato ha bisogno di stabilire un rapporto forte con la mamma per poi piano piano aprirsi al mondo ed alle altre relazioni.
Curiosamente anche la strutturazione degli insiemi ha bisogno di un assioma che garantisca l'esistenza della coppia e poi di un assioma che garantisca l'esistenza dell'unione. Si potrebbe pensare, abbiamo detto, che il primo assioma è ridondante ma risulta invece necessario: senza la possibilità di costruire coppie non vi sarebbero neanche degli insiemi iniziali su cui fare delle unioni. La formazione di insiemi via via più grandi avviene nel seguente modo:

{}

{ {} } = { {} , {} }

{ {}, {{}} }

{ {{}} } = { {{}}, {{}} }

{ {}, {{}}, {{{}}} }

...

Vale la pena sottolineare ancora una volta che queste sequenze, ben formate, di parentesi sono ciò che veramente studia la teoria assiomatica degli insiemi e ciò che veramente esiste in matematica, il resto sono tutte costruzioni, definizioni e nomi dati a strutture di questo genere e con complessità via via crescenti. A partire dai numeri come vedremo meglio tra poco.

Essere in relazione con.

Cos'è la matematica?

Alcune definizioni:

Mathematics is the classification and study of all possible patterns. Walter Warwick Sawyer, 1955

Mathematics is a broad-ranging field of study in which the properties and interactions of idealized objects are examined. Dal sito Wolfram MathWorld

The science of structure, order, and relation that has evolved from elemental practices of counting, measuring, and describing the shapes of objects. Encyclopaedia Britannica

A mathematician, like a painter or poet, is a maker of patterns. If his patterns are more permanent than theirs, it is because they are made with ideas. G. H. Hardy, 1940

In generale penso si possa dire che la matematica è lo studio degli schemi, degli ordini, delle relazioni che sussistono tra oggetti di natura astratta.

Coppia.

Se la matematica è lo studio delle relazioni tra oggetti di natura astratta, la teoria assiomatica degli insiemi deve dare la possibilità di mettere tali oggetti in relazione. I primi strumenti fondamentali per andare in questa direzione sono dati dal terzo e dal quarto assioma che permettono di creare nuovi insiemi a partire da altri già esistenti. Nello specifico il terzo assioma permette la costruzione di coppie non ordinate ossia di insiemi con due elementi ed il quarto assioma permette la costruzione dell'insieme unione di altri insiemi dati.

Il terzo assioma della teoria degli insiemi è:

Assioma della coppia: Se x, y sono insiemi, allora lo è anche {x,y}, cioè un insieme contenente x e y come unici elementi.

Detto in parole semplici questo assioma dice che se abbiamo due elementi x e y è possibile creare un insieme che ha come elementi solo x e y e viene denotato con {x, y}. Ricordo che x e y possono a loro volta essere solo insiemi perché gli insiemi sono l'unica cosa che esiste nella teoria assiomatica degli insiemi. Questo assioma serve ad andare nella direzione di dare alla matematica la possibilità di studiare le relazioni tra oggetti: senza poter costruire insiemi che rappresentano coppie di elementi non è possibile per la matematica studiare le relazioni tra gli oggetti. Un insieme con più elementi può essere considerato un modo di mettere tali elementi in relazione.
Possiamo far notare che anche se l'assioma della coppia consente direttamente solo la costruzione di coppie non ordinate, in cui cioè non c'è un primo elemento ed un secondo elemento ma entrambe gli elementi giocano lo stesso ruolo, tale assioma permette anche la costruzione di coppie ordinate per mezzo di un piccolo artificio: dati gli elementi x e y, possiamo costruire la coppia ordinata in cui x è il primo elemento e y è il secondo elemento, nel seguente modo: {x, {y}} o in qualunque altro modo che renda differente il ruolo di x e y, per esempio: {x, {x,y}}, {x, {{},y}}.

Vale la pena sottolineare come il concetto di relazione debba essere modellato per mezzo dell'appartenenza allo stesso insieme e questo può risultare piuttosto artificioso. La matematica è lo studio delle relazioni tra oggetti astratti però la teoria assiomatica degli insiemi punta innanzitutto a

modellizzare il concetto di appartenenza. Vi è qui una sfasatura di fondo tra gli obiettivi della matematica e le sue fondamenta. Si potrebbe immaginare che una matematica che pone come base il concetto di “essere in relazione con” abbia maggiori possibilità di riuscire nell'intento di comprendere le relazioni più nascoste tra gli oggetti. Vedremo che a questo preciso aspetto risponde la teoria delle categorie.

Unione e non gruppo.

Assioma dell'unione: Ogni insieme ha un'unione. Cioè, per ogni insieme x esiste un insieme y i cui elementi sono esattamente gli elementi degli elementi di x.
Detto in parole più semplici dato un insieme x i cui elementi sono insiemi, è possibile costruire un insieme che ha come elementi tutti e soli gli elementi che appartengono ad almeno un insieme di x.

Detto in parole ancora più semplici, se abbiamo degli insiemi x1, x2, x3, ... possiamo creare un insieme che ha come elementi tutti gli elementi di x1 uniti a quelli di x2 uniti a quelli di x3 ecc.

L'assioma dell'unione è ciò che consente la costruzione di raccolte, collezioni, famiglie, classi, ... di insiemi appunto. Si possono prendere elementi da altri insiemi e metterli tutti dento uno stesso contenitore.

L'assioma porta con sé la potenza del poter costruire collezioni a piacimento con la debolezza di costruire appunto solo collezioni senza struttura, ossia collezioni di elementi in cui non è nota e formalizzata la relazione che sussiste tra tali elementi. Vedremo come affronta questo aspetto la teoria delle categorie.

Vuoto, l'insieme.

L'insieme vuoto.

Torniamo allora alla nostra analisi degli assiomi della teoria assiomatica degli insiemi.
Eravamo partiti dal tentare di cogliere le immagini nascoste in questi assiomi e quando dico immagini intendo le immagini di valore umano.
Avevamo già discusso quale fosse il senso di una tale operazione ed eravamo arrivati a un pensiero interessante che è il seguente: se la matematica è creazione della mente umana, come pensiamo, allora ha senso pensare che essa porti con sé tracce del modo di pensare e vedere di chi la matematica l'ha creata, ossia degli uomini e donne che l'hanno creata in un certo modo in certo periodo storico.
Procediamo allora con la nostra analisi degli assiomi della teoria degli insiemi. Avevamo già visto come il primo assioma dica con precisione che ciò che interessa modellare in questa teoria, e ciò su cui si vuole fondare tutta la matematica, è il concetto di “avere”. Avere, possedere e, simmetricamente, appartenere, essere membro di, sono termini che la teoria degli insiemi prende come “primitivi” ossia non definibili con altri termini più elementari.
Abbiamo già parlato di come questo interesse per il concetto di “possedere” potrebbe essere traduzione di un pensiero sull'essere umano e cioè che esso sia tabula rasa, brocca da riempire.
Il secondo assioma della teoria assiomatica degli insiemi tratta dell'insieme vuoto e dice che l'insieme vuoto esiste:

2. Assioma dell'insieme vuoto: Esiste un insieme privo di elementi. Useremo {} per indicare questo insieme.

La teoria assiomatica degli insiemi ha bisogno di poter affermare l'esistenza di qualche oggetto per poter effettuare delle costruzioni con cui fare matematica. Questo assioma garantisce l'esistenza dell'insieme vuoto. (Vi è poi un solo altro assioma esistenziale che è quello che garantisce l'esistenza di un insieme infinito).

Cosa ci racconta questo assioma?

Dopo aver trovato “la tabula rasa” nascosta dietro al primo assioma della teoria degli insiemi ci troviamo con il vuoto nel secondo assioma.

La matematica poggia tutta su un insieme vuoto. E le cose stanno davvero così.

L'insieme vuoto è unico (perché due insiemi senza elementi sono identici, per il primo assioma) ed a partire da esso si costruiscono tutte le altre strutture di cui la matematica necessita. Una cascata infinita di concetti e costruzioni che partono tutte da un insieme vuoto. E non posso non pensare alla ragione stessa che può ragionare su tutto ma che non sa dire su cosa poggia e da dove nasce.

E qua viene quasi da chiedersi: possibile che non vi siano altre possibilità? Possibile che non sia venuto in mente altro che poggiare tutto su un insieme vuoto? Possibile che matematicamente questa sia la scelta più efficiente e potente? Possibile che l'idea di poggiare tutto su un insieme vuoto non abbia un senso ed un significato preciso? Potrebbe trattarsi invece del fatto che quando le immagini non coscienti che vagano nella mente dei matematici e nella cultura del tempo sono quelle di “tabula rasa” e “vuoto affettivo” allora si finisce per creare una matematica che di questi concetti ne fa le fondamenta?

L'unico vero ente della teoria assiomatica degli insiemi è il concetto di contenitore rappresentato nella notazione matematica da due parentesi graffe {}.

I numeri per esempio possono essere rappresentati e costruiti mediante una successione di contenitori annidati come matriosche (diamo una rappresentazione semplificata per non appesantire troppo la trattazione):

0 - {} l'insieme vuoto,

1 - {{}} l'insieme che ha come unico elemento l'insieme vuoto,

2 - {{{}}} l'insieme che ha come unico elemento l'insieme che ha come unico elemento l'insieme vuoto,

3 . {{{{}}}} ecc.

Come si vede l'unica cosa che si salva in questa teoria sono le scatole vuote, i contenitori, le matriosche. E ci si chiede allora se il nostro aver precedentemente definito gli insiemi come dei sacchi di patate non sia già una concessione dal momento che in realtà la matematica è fatta di sacchi vuoti, non ci sono neanche le patate.

Fondare tutto sull'insieme vuoto è un fatto curioso, interessane e strano. Il vuoto non esiste. Non esiste in natura (come abbiamo visto nel paragrafo su Heisenberg). Il vuoto è un'astrazione della mente. Fondare tutto sull'insieme vuoto è allo stesso tempo un atto di astrazione e fantasia ma anche il segno forte di una mancanza. Identificheremo inseguito quale sia questa mancanza.

Come sono fatti gli insiemi possibili?
Di cosa tratta davvero la teoria assiomatica degli insiemi?
Tratta di matriosche di matriosche di matriosche ... vuote, ossia contenitori di contenitori di contenitori vuoti ... qualcosa che possiamo rappresentare con questa figura:

Dove ogni cerchietto senza nulla dentro rappresenta l'insieme vuoto.

O che possiamo rappresentare anche con un albero gerarchico:

Dove ogni segmento verso l'altro rappresenta un contenimento in un contenitore più grande.
O che possiamo rappresentare anche con un grafo gerarchico che tenga conto delle uguaglianze tra insiemi secondo quanto asserito dal primo assioma:

_______________________

Trovo veramente curioso pensare che la matematica tutta si basa su queste bolle vuote

e continuo a pensare che le immagini di senso umano che emergono dalle idee matematiche

debbano avere un valore, appunto, umano, che non siano mere coincidenze e forzature.

Continuo a pensare che cercare di cogliere un pensiero dietro alle idee matematiche

possa portarci a fare delle scoperte ...