Latte in Bottiglia.

Ben fondatezza.

L'assioma di ben fondatezza ha delle strette connessioni con l'argomento di cui stavamo parlando ossia con i numeri naturali e la loro struttura come identificata da Peano.
Ci sono vari modi di enunciare l'assioma di “Ben fondatezza”. Per non rendere la nostra trattazione troppo complessa, lo enunciamo qua nel seguente modo che risulta facilmente comprensibile:

Assioma di fondatezza: Non esistono successioni infinite di insiemi ciascuno avente fra i suoi elementi il successivo.

Ossia non possono esistere degli insiemi A₁, A₂, A₃, A₄, .... tali che A₁ ha come elemento A₂ che ha come elemento A₃ che ha come elemento A₄ e così via senza fine:

A1 ϶ A2 ϶ A3 ϶ A4 ϶ A5 ϶ A6 ϶ A7 ϶ ...
(dove ϶ significa “ha fra i suoi elementi”)

Questo assioma in particolare evita che un insieme possa essere elemento di se stesso, infatti se X fosse elemento di X allora si potrebbe costruire una successione infinita di insiemi ciascuno avente fra i suoi elementi il successivo semplicemente prendendo tutti gli elementi della successione uguali a X:

X ϶ X ϶ X ϶ X ϶ X ϶ X ...

L'assioma evita in generale anche l'esistenza di loop di appartenenza di questo genere:

A1 ϶ A2 ϶ A3 ϶ A4 ϶ A1

Perché anche questi portano direttamente alla costruzione di successioni discendenti infinite.

Le successioni discendenti infinite sono come pozzi senza fine, come pacchetti che contengono pacchetti che contengono pacchetti ... a oltranza senza arrivare mai a una fine, a un contenuto oltre i contenitori. L'assioma di ben fondatezza vuole ed esige che gli insiemi abbiano un contenuto, foss'anche tale contenuto, come sappiamo, l'insieme vuoto.

Abbiamo visto che i numeri naturali vengono definiti nel seguente modo.

Definiamo 0 come {}.

Definiamo ora 1 come 0 U {0} ossia {} U {{}} = {{}}

Definiamo poi 2 come 1 U {1} ossia {{}} U {{{}}} = { {}, {{}} }

Definiamo poi 3 come 2 U {2} ossia { {}, {{}}, {{},{{}}} }

ecc.

In questo modo abbiamo che la nozione di “successore” di Peano si riduce alla nozione insiemistica di “ha come elemento”, infatti risulta dalla definizione che

0 ∈ 1 ∈ 2 ∈ 3 ∈ 4 ∈ 5 ...

(dove ∈ significa “appartiene a”)

Questo porta a un'analogia tra alcuni degli assiomi degli insiemi (o dirette conseguenze di essi) e gli assiomi di Peano.

• “Esiste l'insieme vuoto” corrisponde a “Lo 0 è un numero naturale”.
• “Nessun insieme appartiene all'insieme vuoto” corrisponde a “Lo 0 non è successore di nessun numero naturale”.
• “Si può costruire l'insieme coppia” ha come conseguenza che “esiste il successore di ogni numero”.
• “Nessun insieme appartiene a se stesso” corrisponde a “nessun numero naturale è successore di se stesso”.
• “Non esistono loop di appartenenza” corrisponde a “nessun numero può essere il successore di due numeri naturali distinti”.
• “Non esistono successioni discendenti infinite” corrisponde a “ogni sottoinsieme dei numeri naturali ha un numero minimo” principio che a sua volta è equivalente al principio di induzione.

In questo modo la teoria degli insiemi riesce a definire i numeri naturali ed a catturarne le proprietà. Come si vede la relazione "avere come successore" viene ridotta alla relazione "appartenere a" ed è proprio questo dover ridurre tutte le relazioni alla relazione di appartenenza che stiamo cercando di segnalare come limite della teoria degli insiemi. 

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Vi è un interessante nesso tra l'assioma di ben fondatezza, la topologia (di cui parleremo in un prossimo paragrafo) ed il senso umano che si può attribuire a queste costruzioni.

Abbiamo già detto del fatto che l'assioma di ben fondatezza è stato introdotto per evitare il Paradosso di Russell e di come si possa pensare che l'assioma di ben fondatezza parli indirettamente del fatto che la razionalità ha bisogno di basi. Oppure, di come il pensiero abbia bisogno di contenuti per avere senso. Ci siamo lamentati più volte del fatto che gli insiemi sono limitati nel cogliere le relazioni tra gli oggetti. Abbiamo più volte, forse anche ingiustamente, sottolineato il fatto che gli insiemi sono solo sacchi di patate. Abbiamo poi visto che non ci sono in verità neanche le patate e ci eravamo abituati all'idea che l'unico contenuto finale dei contenitori sia l'insieme vuoto. L'assioma di ben fondatezza blocca dal rischio di far poggiare tutto su catene di contenitori senza fine

[ [ [ [ [ [ [ [ [ ... ] ] ] ] ] ] ] ] ]

Questo per quanto riguarda il senso umano.

Veniamo allora al nesso con la topologia. Supponiamo, contro l'assioma di ben fondatezza, che esista un loop di insiemi ciascuno elemento del successivo: 

Dove ogni “cono” rappresenta uno zoom su un elemento che viene poi visto come insieme contenente altri elementi.

Se abbiamo un insieme che appartiene a se stesso, abbiamo qualcosa di questo genere:

Questa immagine richiama subito alla mente, per i matematici, la “Bottiglia di Klein” e vedremo che il nesso non è casuale.

La bottiglia di Klein è una costruzione geometrica (o più precisamente, topologica) che esiste solo in uno spazio a 4 dimensioni e che si può rappresentare in 3 dimensioni con una immagine del genere:

Nello spazio a 4 dimensioni la bottiglia di Klein ha una superficie liscia senza intersezioni con se stessa come avviene invece se costruiamo la bottiglia di Klein in 3 dimensioni.

La cosa curiosa della bottiglia di Klein è il fatto che la parete interna della bottiglia e la parete esterna della bottiglia sono in realtà la stessa parete. Si veda a questo proposito la prima immagine proposta o si pensi di scorrere il dito sulla parete della bottiglia, si scoprirà che è possibile passare da dentro a fuori senza incontrare mai un bordo come avviene invece in una normale bottiglia di acqua. Del resto la bottiglia di Klein non ha bordi come invece hanno le normali bottiglie.

Ma cosa c'entra la bottiglia di Klein con i nostri discorsi. La bottiglia di Klein c'entra perchè rappresenta un contenitore in cui non è possibile distinguere tra dentro e fuori, tra ciò che è contenuto e ciò che non è contenuto. E questo è proprio ciò che succede se accettiamo che un insieme possa appartenere a se stesso, non è più chiara la differenza tra dentro e fuori, tra contenuto e contenitore.

Questo nesso con la topologia è interessante perché la topologia gioca un ruolo fondamentale in matematica e forse possiamo arrischiarci a pensare che la topologia nasce, nella mente del bambino, proprio qua, nel cercare di distinguere tra contenuto e contenitore. Tra seno e latte. Tra latte ed affetto.

Pensiamoci. Poi ci torneremo su.