Topologia

Topologia

La topologia è una branca bellissima e fondamentale della matematica.

Non è una branca specialistica nel senso che non si occupa di un ramo di matematica dedicato a un tema ristretto. No, la topologia è alle basi della matematica. La topologia viene subito dopo la teoria degli insiemi e viene prima dell'algebra, prima dell'analisi, prima della geometria. Non si può fare matematica, ai nostri tempi, senza topologia.

Ma cos'è la topologia?

La topologia è lo studio delle proprietà delle figure e delle forme che resistono alle deformazioni continue quali allungamenti, compressioni, torsioni, curvature ma non rotture, bucature, strappi, incollature, sovrapposizioni.

Abituati fin dalla scuola a pensare agli oggetti geometrici in cui le misure contano, facciamo fatica a pensare a proprietà delle forme e delle figure che non dipendono dalle misure e che sopravvivono alle deformazioni continue. Nel 1900 ci si è resi conto che invece queste proprietà sono molte e sono molto importanti, spesso più importanti delle proprietà geometriche. Moltissima della matematica moderna non potrebbe esistere senza lo studio della topologia.

Facciamo alcuni semplici esempi.

Un pallone ha un dentro ed un fuori. Se dentro al un pallone c'è una pallina, non avete modo di tirarla fuori senza rompere il pallone, senza bucarlo. Potete deformare il pallone quanto volete, potete torcerlo, schiacciarlo, comprimerlo, curvarlo, allungarlo ... o addirittura annodarlo se ci riuscite, ma la pallina che è chiusa dentro, resterà dentro. Dentro e fuori sono concetti topologici, non geometrici.

Un altro esempio. Una ciambella ha un buco nel mezzo dove potete infilarci il dito. Potete deformare la ciambella quanto volete ma il buco nel mezzo, ovviamente, resterà a meno che non la rompiate o non incolliate il buco ma queste non sono operazioni ammesse. Anche una tazzina ha un buco in cui mettere un dito, il buco della maniglia; da questo punto di vista una tazzina ed una ciambella sono esattamente la stessa cosa. Un topologo non distingue tra una tazzina ed una ciambella, sono due oggetti con un buco, un solo buco:

Lo spazio dove mettiamo il caffè è solo un infossamento della ciambella.

In generale il numero di buchi che un oggetto ha, è una proprietà topologica.

Un foglio di carta (o di gomma) ha due facce ed un bordo e qualunque deformazione subisca avrà sempre due facce ed un bordo. Un tubo ha due facce e due bordi. Una palla ha due facce e nessun bordo. La bottiglia di Klein (del paragrafo precedente) ha una sola faccia e nessun bordo. Anche facce e bordi sono proprietà topologiche.

Questi sono esempi semplici ma si possono fare esempi di complessità crescente a piacere.

Ecco, la topologia non solo compare presto nella strutturazione dei risultati matematici ma compare presto anche nella mente dei bambini.

I bambini con meno di tre anni passano molto tempo a fare esperimenti topologici: “se metto questa pallina qua dentro che succede?”, “se faccio il giro del tavolo che succede?”, “se la pallina passa dentro al tubo che succede?” “Se passo la corda nell'anello che succede?”, ...

Possiamo adesso osservare che vari degli assiomi di Peano che caratterizzano i numeri naturali (si veda un paragrafo precedente) hanno un carattere topologico: essi servono ad evitare che i numeri naturali abbiano dei loop, servono a fare in modo che i numeri naturali abbiano un inizio (lo 0) e non abbiano una fine e servono ad assicurare che tutti i numeri naturali sino raggiungibili grazie alla funzione “successore di”. Tutte queste sono precise proprietà topologiche che descrivono l'insieme dei numeri naturali come qualcosa che ha la seguente struttura:

Lo scopo di questo nostro lavoro è tentare di raccontare come nasce la matematica nella mente umana. Ci stiamo avvicinando piano piano a raccontare le idee di base.

Abbiamo scoperto che per scoprire come nasce la matematica nella mente umana dobbiamo scoprire come nasce il “contare” nella mente umana perché questa sembra essere una delle attività di base. E forse ancora prima dobbiamo scoprire come nasce quella freccia, quella spinta, che fa passare dallo 0 all'1.

Abbiamo poi scoperto (si veda anche il paragrafo precedente) che ci sono strani e forti nessi tra la struttura dei numeri naturali ed i concetti topologici di contenuto e contenente.

E' interessante notare che la topologia, nel momento in cui parla di deformazioni, porta con sé un concetto di tempo perché le deformazioni avvengono nel tempo. Ma il concetto di tempo è a sua volta intimamente connesso con il contare perché contare è anche una scansione del tempo.

Alle basi della matematica, alle sue origini nella mente umana, troviamo quindi un forte legame tra le nozioni di “contare”, “tempo” e “topologia”.

Nei prossimi paragrafi troveremo che nel bambino appena nato che cerca il seno c'è già il primo pensiero che rende possibile agli esseri umani contare, pensare a questioni topologiche e creare matematica.

Ma prima di addentrarci negli aspetti psicologici della nostra ricerca abbiamo un ultimo argomento matematico da affrontare: le relazioni, le frecce!