Relazioni come insiemi.

Relazioni e funzioni nella teoria degli insiemi.

La matematica deve, abbiamo detto, studiare le relazioni che sussistono tra oggetti vari di natura astratta. Ma che cos'è una relazione? Cosa sono le relazioni nella teoria degli insiemi?

Questo post è piuttosto tecnico, lo scopo è mostrare come si rappresentano le relazioni nella teoria degli insiemi e scoprire che la costruzione è piuttosto farraginosa.

Una relazione è una freccia, un collegamento, un legame tra due o più oggetti.

Come si può modellizzare il fatto che esiste una relazione tra l'oggetto a e l'oggetto b nella teoria degli insiemi? Solo mettendo a e b in uno stesso insieme e dotando, se necessario, tale insieme di una qualche “struttura”. La relazione tra l'oggetto a e l'oggetto b potrebbe essere rappresentata con {a, b} se a e b non giocano ruoli diversi, oppure con {{a}, {a, b}} se a e b giocano ruoli diversi, per esempio a è il primo oggetto della coppia e b è il secondo oggetto della coppia oppure a è la sorgente e b è la destinazione.

Le coppie della forma {{a}, {a, b}} si chiamano coppie ordinate e si indicano per brevità con (a,b).

Per formalizzare il concetto di relazione nell'ambito della teoria degli insiemi si definisce prima di tutto il concetto di prodotto cartesiano.

Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è l'insieme di tutte le coppie ordinate (a, b) con a in A e b in B (formalmente il prodotto cartesiano è un particolare sottoinsieme dell'insieme di tutti i sottoinsieme di A U B).

Avendo a disposizione il concetto di prodotto cartesiano possiamo dire che una relazione tra l'insieme A e l'insieme B è semplicemente un sottoinsieme del prodotto cartesiano tra A e B.

Una funzione tra A e B invece è una relazione tale che se (a, b1) e (a, b2) sono suoi elementi allora b1=b2, ossia una funzione è una relazione che ad ogni elemento di A associa al più un elemento di B.

Come vediamo le definizioni di relazione e funzione non sono complicatissime ma non sono nemmeno immediate (si tenga presente che abbiamo omesso la maggior parte dei dettagli).

Qualcuno ha pensato che se la matematica deve studiare le relazioni e le trasformazioni allora le relazioni e le trasformazioni dovrebbero essere gli oggetti di base della matematica stessa. Dovrebbero essere quegli oggetti che la matematica prende come primitivi e non ulteriormente riconducibili ad altri concetti. Così fa la teoria delle categorie di cui parliamo nel prossimo paragrafo.