Frecce!!

Le frecce e la Teoria delle Categorie.

Immaginiamo adesso una teoria matematica diversa.

Una teoria per certi versi folle che decide di poggiare tutto sul concetto di freccia. Si, la freccia,

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la comune freccia che siamo abituati a disegnare sui fogli, diventa il concetto fondamentale, primitivo, non riconducibile ad altri concetti della teoria che stiamo per introdurre.

Le frecce sono frecce, qualunque cosa questo voglia dire. Le frecce hanno un oggetto iniziale ed un oggetto finale:

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Le frecce rappresentano una qualunque relazione tra due oggetti.

In questa teoria gli enti primitivi sono le “frecce” e gli “oggetti”:

Una categoria è una collezione di oggetti e frecce. Si richiede solo che le frecce si possano comporre per ottenere altre frecce (nel modo che vedremo tra poco):

Gli oggetti possono rappresentare enti di qualunque tipo e le frecce possono rappresentare relazioni le più disparate tra gli oggetti.

La teoria delle categorie è un modo per formalizzare il generico concetto di struttura matematica per mezzo di una collezione di oggetti e frecce.

Molte aree significative della matematica possono essere formalizzate per mezzo delle categorie.

Incentrandosi solo su oggetti e frecce la teoria delle categorie potrebbe sembrare una teoria elementare e di poca portata invece risulta che la teoria delle categorie è un'astrazione del concetto di matematica stesso e permette in molte branche della matematica di enunciare e dimostrare in maniera semplice e pulita risultati che altrimenti risultano estremamente intricati e complessi.

Un esempio di categoria è la categoria degli insiemi in cui gli oggetti sono gli insiemi e le frecce sono le funzioni tra insiemi. Tuttavia in una categoria gli oggetti e le frecce possono essere entità le più disparate purché obbediscano alle poche richieste che la teoria delle categorie fa sulle frecce.

La teoria delle categorie è in grado di dimostrare risultati generali che poi valgono in moltissimi ambiti della matematica proprio perché le categorie compaiono ovunque e riescono a rappresentare ed astrarre concetti molto generali. Per ogni concetto matematico che possa essere rappresentato con oggetti e frecce che si comportano come richiesto dalla teoria delle categorie, saranno validi tutti i risultati della teoria delle categorie.

La teoria delle categorie pone un forte accento sulle frecce, dette anche morfismi. L'idea è che per studiare gli oggetti matematici è fondamentale studiare le relazioni tra gli oggetti più che gli oggetti stessi. Sono le frecce che riescono a raccontare le proprietà degli oggetti perché esse proprietà emergono chiaramente quando un oggetto lo si mette a confronto con altri oggetti.

Le “frecce” possono essere per esempio funzioni, processi o trasformazioni che preservano una struttura.

La proprietà più importante delle frecce è il fatto che si possono comporre.

La teoria delle categorie raggiunge livelli di astrazione estremamente elevati che risultano spesso difficili non solo da comprendere ma anche da concepire.

La teoria delle categorie astrae sui concetti matematici di insieme, spazio topologico, spazio vettoriale, spazio metrico, gruppo, ... e moltissime altre strutture matematiche. La teoria delle categorie riesce a rappresentare tutte queste branche ed a dimostrare risultati che valgono in tutte queste branche.

La teoria delle categorie ci interessa perché si occupa del concetto di freccia, di relazione, di direzione, di processo. E questi concetti sono non solo alla base della matematica ma anche, come abbiamo intuito e vedremo in dettaglio, alle origini della matematica nella mente umana.

Nel prossimo paragrafo vediamo allora la definizione di categoria matematica.