Essere in relazione con.

Cos'è la matematica?

Alcune definizioni:

Mathematics is the classification and study of all possible patterns. Walter Warwick Sawyer, 1955

Mathematics is a broad-ranging field of study in which the properties and interactions of idealized objects are examined. Dal sito Wolfram MathWorld

The science of structure, order, and relation that has evolved from elemental practices of counting, measuring, and describing the shapes of objects. Encyclopaedia Britannica

A mathematician, like a painter or poet, is a maker of patterns. If his patterns are more permanent than theirs, it is because they are made with ideas. G. H. Hardy, 1940

In generale penso si possa dire che la matematica è lo studio degli schemi, degli ordini, delle relazioni che sussistono tra oggetti di natura astratta.

Coppia.

Se la matematica è lo studio delle relazioni tra oggetti di natura astratta, la teoria assiomatica degli insiemi deve dare la possibilità di mettere tali oggetti in relazione. I primi strumenti fondamentali per andare in questa direzione sono dati dal terzo e dal quarto assioma che permettono di creare nuovi insiemi a partire da altri già esistenti. Nello specifico il terzo assioma permette la costruzione di coppie non ordinate ossia di insiemi con due elementi ed il quarto assioma permette la costruzione dell'insieme unione di altri insiemi dati.

Il terzo assioma della teoria degli insiemi è:

Assioma della coppia: Se x, y sono insiemi, allora lo è anche {x,y}, cioè un insieme contenente x e y come unici elementi.

Detto in parole semplici questo assioma dice che se abbiamo due elementi x e y è possibile creare un insieme che ha come elementi solo x e y e viene denotato con {x, y}. Ricordo che x e y possono a loro volta essere solo insiemi perché gli insiemi sono l'unica cosa che esiste nella teoria assiomatica degli insiemi. Questo assioma serve ad andare nella direzione di dare alla matematica la possibilità di studiare le relazioni tra oggetti: senza poter costruire insiemi che rappresentano coppie di elementi non è possibile per la matematica studiare le relazioni tra gli oggetti. Un insieme con più elementi può essere considerato un modo di mettere tali elementi in relazione.
Possiamo far notare che anche se l'assioma della coppia consente direttamente solo la costruzione di coppie non ordinate, in cui cioè non c'è un primo elemento ed un secondo elemento ma entrambe gli elementi giocano lo stesso ruolo, tale assioma permette anche la costruzione di coppie ordinate per mezzo di un piccolo artificio: dati gli elementi x e y, possiamo costruire la coppia ordinata in cui x è il primo elemento e y è il secondo elemento, nel seguente modo: {x, {y}} o in qualunque altro modo che renda differente il ruolo di x e y, per esempio: {x, {x,y}}, {x, {{},y}}.

Vale la pena sottolineare come il concetto di relazione debba essere modellato per mezzo dell'appartenenza allo stesso insieme e questo può risultare piuttosto artificioso. La matematica è lo studio delle relazioni tra oggetti astratti però la teoria assiomatica degli insiemi punta innanzitutto a

modellizzare il concetto di appartenenza. Vi è qui una sfasatura di fondo tra gli obiettivi della matematica e le sue fondamenta. Si potrebbe immaginare che una matematica che pone come base il concetto di “essere in relazione con” abbia maggiori possibilità di riuscire nell'intento di comprendere le relazioni più nascoste tra gli oggetti. Vedremo che a questo preciso aspetto risponde la teoria delle categorie.

Unione e non gruppo.

Assioma dell'unione: Ogni insieme ha un'unione. Cioè, per ogni insieme x esiste un insieme y i cui elementi sono esattamente gli elementi degli elementi di x.
Detto in parole più semplici dato un insieme x i cui elementi sono insiemi, è possibile costruire un insieme che ha come elementi tutti e soli gli elementi che appartengono ad almeno un insieme di x.

Detto in parole ancora più semplici, se abbiamo degli insiemi x1, x2, x3, ... possiamo creare un insieme che ha come elementi tutti gli elementi di x1 uniti a quelli di x2 uniti a quelli di x3 ecc.

L'assioma dell'unione è ciò che consente la costruzione di raccolte, collezioni, famiglie, classi, ... di insiemi appunto. Si possono prendere elementi da altri insiemi e metterli tutti dento uno stesso contenitore.

L'assioma porta con sé la potenza del poter costruire collezioni a piacimento con la debolezza di costruire appunto solo collezioni senza struttura, ossia collezioni di elementi in cui non è nota e formalizzata la relazione che sussiste tra tali elementi. Vedremo come affronta questo aspetto la teoria delle categorie.