Non muore d'inverno, rinasce d'estate.

Abbiamo fatto un mese di campeggio minimalista. Siamo stati molto bene.

Ve lo racconterò piano piano.

Siamo partiti in treno con due bici, uno zaino grande, uno zaino da scuola 

ed uno zaino piccolino. 

Lo zaino grande conteneva tutto: i vestiti per 4 persone, 2 tende, 2 sacchi a pelo, 2 materassini.

Lo zaino da scuola conteneva: alcuni libri per i bimbi ed alcune medicine.

Lo zaino piccolino conteneva: il cibo per il viaggio.

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Gusci!!! Centinaia di gusci.

Gusci.

"Se fin'ora hai cantato, adesso balla".
"Non muore d'inverno, rinasce l'estate".

Decine di gusci su ogni albero. Ogni mattina.
Abbiamo preso a raccoglierli.
Decine di gusci di un qualche insetto comparivano ogni mattina alla base dei tronchi dei pini.
Ma anche su altri tipi di albero ed anche su staccionate, corde, tende, scarpe, fili d'erba.
Questo succedeva in campeggio.
E' la soluzione del mistero era semplice ma non ci avevo pensato: CICALE!!!
Dato l'assordante frinire di migliaia di cicale che sentivamo in tutto il campeggio,
tutti quei gusci dovevano essere delle cicale.

"Se fin'ora hai cantato, adesso balla" rispose la formica alla cicala che chiedeva
del cibo, nella fiaba di Esopo e poi di La Fontaine.
Ma Esopo mentiva perché la "la cicala che gode l'estate, non muore d'inverno, rinasce l'estate" (Fagioli).

Il campeggio è stato un corso dal vivo sulle cicale. Il disegno è mio.

La muta.
La muta della larva in immagine finale è un momento bellissimo ed abbiamo
avuto l'occasione di vederlo dal vivo.
Di solito avviene di notte ma ci è capitato di vedere una cicala che effettuava
la muta la mattina davanti alla nostra tenda.
Vedere la testa che esce piano piano dal guscio della larva attraverso la schiena,
poi tutta la cicala che esce fuori e lascia il guscio attaccato all'albero
ed infine le ali che si dischiudono per diventare grandi a partire da minuscole escrescenze,
è uno spettacolo della natura.
In particolare è bellissimo il processo delle ali trasparenti che si srotolano a partire da piccoli grumi sui lati della larva e mostrano via via tutte le nervature che indurendosi fungeranno da struttua.

Ciclo di vita.
Il ciclo di vita delle cicale è curioso.
Il canto delle cicale ha funzione di richiamo sessuale per le femmine (che non cantano).
Quando queste raggiungono il maschio ha luogo il corteggiamento e l'accoppiamento.
Dopo 24 ore le femmine depongono le uova fecondate su ramoscelli o sterpi.
Dalle uova, quando si schiudono, escono le larve che danno inizio
alla loro vita sotterranea. Possono restare sottoterra per vari anni
ed in una specie restano sottoterra per 17 anni.
Le larve sono prive di ali ed hanno due zampe anteriori adatte allo scavo del terreno;
giunte a maturità escono dal suolo e cercano un albero dove arrampicarsi ed effettuare la muta.
Attaccate alla corteccia dell'albero lasciano l'involucro ninfale (i gusci nella foto)
e piano piano dispiegano le ali per poi prendere il volo ed andare sulla cima degli alberi
dove vivono per qualche giorno o, al massimo, qualche settimana.
La cicala si nutre della linfa degli alberi e a tal scopo possiede una proboscide.

Si può vedere la proboscide. [Foto non nostra].

Curiosità.
In campeggio era frequente sentire delle microgoccie di liquido cadere dall'alto sulla pelle.
Alcuni dicono che sia la pipì delle cicale e comincio a pensare che sia in effetti così.

Nella specie di cicale le cui larve vivono 17 anni sottoterra, le larve escono dal suolo
tutte nelle stesso periodo ogni 17 anni.
Dato che poi tutta questa enorme quantità di cicale muore poco tempo dopo aver deposto
le nuove uova, il suolo si trova ad accogliere tutti corpi delle cicale morte
e questo crea dei cicli di 17 anni nella quantità e nelle specie di piante
che popolano i territori abitati da questa specie di cicale.
Non si sa come avviene che le larve riescano a contare i 17 anni
ed a sincronizzarsi sul periodo di fuoriuscita dal terreno.

Le larve di cicale hanno i condotti della pipì che confluiscono
verso le estremità delle zampe anteriori. In questo modo la pipì,
che esce dalle zampe, ammorbidisce il terreno e facilità lo scavare.

Mondi paralleli.
Ci sono tre mondi in pineta. Almeno tre mondi.
Uno al livello del terreno: con gli aghi di pino, le cortecce dei pini, il sottobosco, gli arbusti, i funghi, le formiche, gli animali del bosco che difficilmente si lasciano vedere ...
Un altro al livello delle chiome dei pini: con le chiome verdi, le cicale,
gli assioli (piccoli gufetti che si sentono cantare la notte quando smettono le cicale
e che vanno ghiotti di cicale), le ghiandaie (uccelli molto belli con una macchia di vivace blu sull'ala), ...
E poi c'è il mondo sotterraneo con le radici, le larve, le formiche, i vermi, ...
Questi tre mondi si incontrano raramente, almeno davanti agli occhi di noi umani.
I gufetti vivono sulle chiome lassù ed è raro vederne uno anche se di notte si riconosce benissimo il loro "chiuuu".

Le cicale, come i pini, collegano questi tre mondi.


Canto e verso
Nel parlare si dice, per esempio, "il canto delle cicale" ed anche "il canto dell'usignolo".
Ma forse dovremmo dire semplicemente "il verso delle cicale" ed "il verso dell'usignolo"
perché solo gli esseri umani cantano nel senso di produrre dei suoni
con solo scopo di cercare la bellezza e la melodia e senza seguire
una regola ed un comportamento prestabiliti.

ciao,
Guzman.

Striscione !

Questo è il mio primo anno di insegnante di ruolo.
Per questo motivo a fine anno scolastico devo superare una prova.
Per questa prova devo fare dei corsi e scrivere delle relazioni.
Come sapete stavo scrivendo un lavoro sulla nascita della matematica nella mente umana.
Gli impegni mi impediscono di portare avanti questo lavoro
nel modo in cui vorrei per cui per il momento sospendo la pubblicazione
dei post riguardanti questa ricerca. Continuerò con tali post appena posso,
tra un mese o due.

Nel frattempo metto qua la foto di uno striscione
che i ragazzi di seconda mi hanno regalato per il mio compleanno (1° maggio).

E' stato un bel regalo, Grazie ragazzi.

Quella che si vede accanto allo striscione è una parete da arrampicata.
L'ho costruita io Natale. Linda la usa una volta ogni tanto, ma quando lo fa
lo fa con piacere. A Luca interessa meno però Luca ha ritrovato interesse per la cupola di tubi.

altre foto

ciao.

Nascita della matematica nella mente umana.

La nascita della matematica nella mente umana.

Nasce il tempo nella mente umana. Nasce perché la mente umana è in grado di concepire le trasformazioni; meglio, è in grado di affrontare trasformazioni. Trasformazioni del pensiero.

E' in grado di rendere non esistente ciò che è e di rendere esistente ciò che non è. E' in grado di far sparire e di ricreare. Questa è l'attività intensa a cui va incontro la mente del bambino appena nato.

Il bambino fa sparire, nella mente, il mondo materiale freddo ed aggressivo e ricrea, con la capacità di immaginare, la memoria-fantasia delle sensazioni intrauterine avute dalla stimolazione della pelle. Con questa immagine in mente, grazie a questa immagine, il bambino si volge alla ricerca di un essere umano altro da sé.

Ed allora, noi pionieri di questa terra sconosciuta a metà tra psicologia e pensiero matematico, ci chiediamo se la matematica non nasca proprio in quel momento, in quel volgersi del bambino alla ricerca di un essere umano altro da sé.

Ci chiediamo: è possibile ipotizzare che la nascita del tempo nella mente umana sia anche la nascita della matematica?

Questa capacità di percepire il movimento del tempo, di cui abbiamo parlato in questi paragrafi, potrebbe portare con sé la capacità di contare.

Questo passare da qualcosa che sparisce a qualcosa che compare potrebbe essere l'archetipo di quello che sarà il contare: ci si separa da un prima per andare a un poi. O, detto con parole contrarie, il contare potrebbe essere la traccia, la memoria, l'immagine, l'essenza di quello che fu attuare la fantasia di sparizione contro la realtà materiale per poi, in un tempo non quantificabile, immaginare che dovesse esistere un altro essere umano diverso da se stessi.

Tempo e contare sono intimamente connessi. Il muoversi degli eventi nel tempo scandisce un ritmo che diventa contare. Ed allora ci chiediamo se il primo numero fu lo 0 della fantasia di sparizione contro il mondo o se invece il primo numero fu l'1 della memoria-fantasia delle sensazioni intrauterine che crearono la mente ed il corpo umano del neonato, seguito poi dal numero 2 che fu la speranza-certezza che esiste un seno.

E poi ancora. Abbiamo detto che la matematica è studio delle relazioni, degli schemi, delle delle funzioni, delle trasformazioni, rappresentate astrattamente e genericamente con delle frecce. Ci chiediamo allora se queste trasformazioni, queste frecce, che la matematica studia non siano la memoria e l'astrazione di quel primo movimento che la mente del neonato fa per andare verso, volgersi, indirizzarsi, rapportarsi, attaccarsi, ...

Ci chiediamo cioè se la mente umana non sia in grado di fare matematica proprio in virtù del fatto che essa nasce con un movimento di ricerca, di trasformazione.

Il neonato fa sparire il non umano e si volge alla ricerca dell'umano: possiamo forse immaginare che questa è la prima freccia. Possiamo pensare che la prima freccia sta nel concetto di pulsione, che la freccia sta nel concetto di rapporto.

La freccia è l'immagine essenziale della speranza-certezza che esiste un seno.

La matematica nasce dall'astrazione del concetto di relazione, nasce dall'astrazione del rapporto del neonato con la mamma. Nasce da questa capacità del bambino di cercare il contenuto.

La matematica prende l'idea del tempo e del rapporto dai primi movimenti della mente ... poi si indirizza a studiare il mondo ... astratto.

Scrive Fagioli:

“Ma io pensai alla formula geniale E=mc² e vidi che il pensiero parlava con la matematica e non aveva espressione verbale. Mi chiedo, mi sono sempre chiesto, se quell'espressione del pensiero in cui le lettere diventano numero, renda, possibile, la conoscenza dell'istinto di morte. La capacità di immaginare, con la matematica, è soltanto nel rapporto con il mondo. E', forse, linea pura”.
Left, Ottobre 2014, n.41.

Segue.

Nascita del tempo nella mente umana.

La nascita del tempo nella mente umana

Pensiamo a quei primi momenti del neonato appena uscito dal canale del parto:

la luce aggredisce la retina, il neonato rende, con la fantasia, non esistente il mondo materiale aggressivo, compare nella sua mente la memoria-fantasia delle sensazioni intrauterine avute,

il neonato immagina e si volge alla ricerca di una realtà umana oltre la propria.

Vi è in questi primissimi due pensieri (fantasia di sparizione contro il mondo materiale e memoria-fantasia delle sensazioni intrauterine avute) un volgersi del neonato dal mondo materiale al mondo umano.

Si tratta del primo movimento della mente. Si tratta della nascita stessa della mente.

La mente nasce quindi con un movimento, con un volgersi, con un passare da un momento a un altro, con un passare dal non umano all'umano, con un passare da una situazione all'immaginarne un'altra. La mente nasce con una trasformazione.

Possiamo qua allora fare delle ipotesi.

Possiamo ipotizzare che questo primo movimento della mente abbia forti ripercussioni su tutta la strutturazione della mente stessa e sia alla base dell'esistenza di certe categorie, mentali appunto, che gli esseri umani hanno.

Più precisamente ci chiediamo: è possibile pensare che questo far sparire qualcosa per immaginare qualcos'altro, questo passaggio da un momento a un altro, crei nella nostra mente la nozione di tempo? Crei nella nostra mente il tempo stesso?

Ciò che era, non è più; ciò che non era, è. Il mondo materiale aggressivo non esiste nella mente, la memoria-fantasia delle sensazioni avute esiste grazie alla capacita di immaginare.

Questo primo passaggio della mente da un momento a un altro, stiamo dicendo, potrebbe determinare la nostra capacità di concepire e rapportarsi con il tempo. La fantasia di sparizione insieme alla capacità di immaginare potrebbero essere all'origine dell'esistenza del concetto di tempo nella nostra mente in quanto creerebbero nella mente l'idea della trasformazione.

La mente umana è in grado di andare incontro a trasformazioni.

Nel feto non vi è scorrere del tempo¹ perché non vi è neanche la mente ma dobbiamo pensare che altrettanto valga per gli animali. Dobbiamo pensare che sebbene gli animali possano esperire il mondo che cambia, essi non riescano a percepire la dimensione del tempo che passa perché il loro cervello non ha in sé il concetto di trasformazione. Dobbiamo pensare che gli animali sono in grado di avere ricordi fotografici di situazioni varie ma che essi non possono concepire il passare del tempo. Riescono cioè a percepire il movimento nello spazio, il cambiamento del corpo nello spazio ma non la trasformazione della mente nel tempo.

Il cucciolo di cerbiatto che nasce, per qualcosa che lo rende diverso da un essere umano, non realizza una fantasia di sparizione contro la realtà materiale fredda ed aggressiva ma anzi realizza il massimo della razionalità possibile per rapportarsi il meglio possibile con questo mondo materiale cercando di ottimizzare le sue possibilità di sopravvivenza. L'animale si muove con l'istinto che, contrariamente a quanto comunemente pensato, è una spinta razionale a ripetere, nelle stesse condizioni, sempre gli stessi comportamenti automatici.

Vi è questa grossa differenza tra gli animali e gli esseri umani: gli esseri umani hanno la fantasia di sparizione.

Quei primi pensieri del neonato creano nella mente l'idea della trasformazione e con essa la possibilità di concepire il tempo.

1. “Avevo scritto che la donna, linea pura, guardava le pareti della grotta. E' sola a guardare le linee che sono colori. I colori che sono linee senza il nero del buio da cui l'essere umano si è tolto perché la donna-natura lo ha gettato nel mondo. Il corpo del feto sparisce come se non fosse mai esistito. Il neonato è una realtà che, prima, non è esistita. Non ha il ricordo del tempo passato perché il tempo nel feto non esiste. E' realtà biologica in rapporto con lo spazio.” Massimo Fagioli, Left, numero 11, marzo 2015.

Teoria della nascita.

La teoria della nascita.

La teoria della nascita è una teoria psicologica elaborata dallo psichiatra italiano Massimo Fagioli¹.

Esponiamo qua la teoria e poi cercheremo di rintracciare nella descrizione che questa teoria dà dei primi movimenti della mente umana anche la nascita della matematica.

Il feto viene alla luce attraverso il canale del parto.

Il feto è fino a quel momento una realtà esclusivamente biologica.

Una volta alla luce il neonato viene esposto a forti stimoli: luce, freddo, aria, rumore.

La luce è lo stimolo assolutamente nuovo.

I fotoni di luce stimolano la retina del neonato.

La retina è l'unica parte del cervello che si apre materialmente verso l'esterno.

E' stato dimostrato che la foto-stimolazione della retina determina una trasformazione radicale del cervello, rispetto alla fase uterina, in quanto ad attività e zone coinvolte.

Il feto, nelle ultime settimane di gestazione, ha maturato una potenzialità di reagire che gli ha permesso di percepire con la sensibilità della cute le qualità del liquido amniotico in forma di benessere intrauterino (calore, omeostasi).

La reazione (ossia la messa in atto della capacità di reagire) del feto rispetto ai forti stimoli ed in particolare rispetto alla luce è, secondo la teoria, quella di attuare una fantasia di sparizione nei confronti del mondo materiale esterno. Una fantasia di sparizione che rende, nella mente, non esistente tutto ciò che intorno a lui non è umano (luce, aria, freddo, rumore).

Si tratta della prima reazione mentale del neonato, del suo primo pensiero.

Il primo pensiero quindi “fa di ciò che è, ciò che non è”. Fa, nella mente, del mondo materiale qualcosa che non è.

E' importante notare che questa fantasia di far sparire qualcosa è nel neonato sana, fisiologica e non patologica ed è per questo definita “fantasia”.

Subito dopo, in un tempo non quantificabile, emerge, secondo la teoria, nella mente del neonato, la “memoria-fantasia dell'esperienza avuta” dentro al liquido amniotico.

Tale memoria-fantasia, insieme alla capacità di immaginare, determina la ricreazione nella mente del neonato delle sensazioni intrauterine. La ricreazione delle sensazioni intrauterine costituisce un'immagine mentale, la prima immagine mentale del neonato e, secondo Fagioli, la fonte stessa della realtà psichica. Non vi è realtà psichica, non vi è realtà umana, prima che questa dinamica avvenga.
Questa creazione di una immagine mentale costituisce il secondo pensiero del neonato e si tratta in questo caso di un pensiero che “fa di ciò che non è, ciò che è”: le sensazioni uterine non più esistenti vengono ricreate nella mente.

La capacità di immaginare quindi, specificamente umana, crea nella mente del neonato il suo secondo pensiero costituto appunto da un'immagine ed è questa prima immagine, questa ricreazione delle sensazioni intrauterine, che consente al neonato una immediata e spontanea ricerca di una realtà umana altra dalla propria, “una speranza-certezza che esista un seno”.

Riassumendo abbiamo quindi due momenti:

stimolazione luminosa con conseguente fantasia di sparizione contro il mondo materiale,

ricreazione delle sensazioni intrauterine come prima immagine mentale con conseguente speranza-certezza che esista un seno.

Stimolazione luminosa, fantasia di sparizione contro il mondo materiale, ricreazione delle sensazioni intrauterine, speranza-certezza che esista un seno, sono i passaggi fondamentali all'origine del pensiero umano e del tempo della vita umana nel senso che dobbiamo pensare che prima che avvenga questa dinamica non vi è realtà psichica e non vi è neanche tempo umano.

La fantasia di sparizione inoltre va pensata come una dinamica specie-specifica dell'essere umano perché tutto il regno animale è sottoposto a stimolazione luminosa alla nascita ma negli altri animali non si determina la formazione della psiche.

Nel rapporto al seno inizia la dinamica relazionale. Nel caso in cui la risposta materna sia ripetutamente deludente il bambino tenderà a ripetere la dinamica di far sparire l'oggetto frustrante, ma questa volta il far sparire sarà rivolto verso il mondo umano e non più verso il mondo non umano. La dinamica di far sparire perde allora il suo carattere fisiologico e si configura invece come patologica nella cosiddetta pulsione di annullamento.
La pulsione di annullamento, nella teoria di Fagioli, è all'origine della malattia mentale in quanto tende a fare di ciò che è umano, ciò che non è.

La nascita umana fisiologicamente sana rende possibile uno sviluppo sano.

Se le situazioni avverse determinano la malattia mentale resta comunque implicita la possibilità, con la psicoterapia, di recuperare l'originaria capacità di immaginare e con ciò di curare la malattia mentale.

Nota 1:

Massimo Fagioli, Istinto di morte e conoscenza, L'asino d'oro edizioni, Roma 2010 (prima edizione 1972).

Massimo Fagioli, La marionetta e il burattino, L'asino d'oro edizioni, Roma 2011 (prima edizione 1974).

Massimo Fagioli, Teoria della nascita e castrazione umana, L'asino d'oro edizioni, Roma 2012 (prima edizione 1975).

Massimo Fagioli, Bambino donna e trasformazione dell'uomo, L'asino d'oro edizioni, Roma 2013 (prima edizione 1980).

Ai suddetti volumi di teoria, Fagioli ha poi affiancato numerose altre pubblicazioni. La teoria della nascita è stata approfondita e ampliata, in costante confronto con scoperte scientifiche che confermano gli assunti delle formulazioni originarie.

Teoria delle categorie.

Definizione di Categoria.

Non è questo il posto adatto per entrare nei dettagli della teoria delle categorie. Si tratta di una teoria affascinante, espressiva e potente. Possiamo qua solo mostrare come la definizione di categoria sia piuttosto elementare e dare dei semplici esempi.

Abbiamo detto che nella teoria delle categorie il concetto fondamentale sono le frecce.

Una freccia f dall'oggetto a all'oggetto b si indica con:

Diciamo, per semplicità, che due frecce sono consecutive se l'oggetto destinazione della prima coincide con l'oggetto sorgente della seconda.

Una categoria è una collezione di frecce tra oggetti tale che:

• Composizione: date due frecce consecutive f e g è definita la loro composizione che è una freccia g f che va dalla sorgente di f alla destinazione di g.
• Identità: per ogni oggetto a della categoria c'è una freccia i_a , detta freccia identità di a, che parte da a e finisce in a, tale che:
  per ogni freccia f che termina in a risulta i_a f = f ,per ogni freccia g che parte da a risulta g i_a = g.
• Associatività: date tre frecce consecutive f , g , h risulta:
  h (g f) = (h g) f.

Questo è quanto è richiesto ad una collezione di frecce per essere definita una categoria.

In poche parole: le frecce si possono comporre, ogni oggetto ha una freccia che ritorna su stesso ed agisce come freccia neutra, la composizione di frecce è associativa nel senso che nella composizione hgf non importa se si compone prima h con g e poi con f, oppure se si compongono prima g con f e poi si compone con h.

La definizione può sembrare strana ma sicuramente sembrano deboli le richieste che si fanno sulle frecce e sembrano non in grado di dar luogo a una matematica espressiva e potente. Invece il fatto di incentrarsi da subito sul concetto di relazione dà alla teoria delle categorie una espressività enorme.

Un esempio immediato di categoria è dato dalla collezione degli insiemi (che giocano il ruolo di oggetti) con le funzioni (che giocano il ruolo di frecce) ma gli esempi di categorie che si possono fare sono praticamente infiniti. In generale (ma non è affatto l'unica possibilità) si ottiene una categoria considerando gli oggetti matematici con una certa struttura (esempio: spazi topologici, spazi metrici, gruppi, ...) e considerando come frecce le trasformazioni che preservano tale struttura.

Non possiamo qua spingerci oltre nella descrizione delle categorie.

Abbiamo visto come nella teoria degli insiemi molte costruzioni risultino forzate e farraginose: la coppia ordinata, il prodotto cartesiano, le relazioni, le funzioni, i numeri naturali, ...

La teoria delle categorie riesce a dare delle definizioni pulite e strutturali di tutti questi concetti e di moltissimi altri.

Quando diciamo “definizioni strutturali” intendiamo definizioni in grado di cogliere esattamente ed esclusivamente la struttura di ciò che si vuole studiare.
Così non è per esempio per la definizione dei numeri naturali data nella teoria degli insiemi. Se definiamo 0 come {}, 1 come 0 U {0}, 2 come 1 U {1}, 3 come 2 U {2} e cosi via, otteniamo qualcosa che ha le proprietà dei numeri naturali ma che ha anche molte altre proprietà casuali derivanti dalla specifica costruzione che ne stiamo dando: per esempio, secondo questa definizione, abbiamo che 1 appartiene a 3, cosa che non ha nessun significato ma è solo conseguenza della costruzione scelta.
Secondo una definizione strutturalista il numero 3 dovrebbe essere caratterizzato esclusivamente dall'occupare il terzo posto nella successione dei numeri e da nessun'altra proprietà derivante per esempio dall'insieme che si è scelto per rappresentarlo.

Un altro aspetto interessante, anche, come vedremo, per i nostri scopi, della teoria delle categorie è la sua capacità di rappresentare anche se stessa. E' qui che la teoria delle categorie prende il via verso livelli di astrazione che non esistono in nessuna altra branca della matematica. Le categorie (viste come oggetti) con le trasformazioni tra categorie (viste come frecce) formano esse stesse una categoria ... Ma qua, davvero, non possiamo spingerci oltre perché la difficoltà matematica delle astrazioni diventa esponenziale.

____________

L'aspetto che più ci interessa è questa possibilità di basare la matematica sulle frecce.

Di basare la definizione dei numeri sulle frecce. Di caratterizzare il contare con le frecce.

Ci interessa qua sottolineare l'importanza nella matematica moderna e nelle fondamenta della matematica del concetto di freccia, relazione, processo, trasformazione.

Ci interessa perché tenteremo di cogliere l'origine stessa di tali concetti nei primi processi mentali di ogni neonato.

A questo scopo dobbiamo descrivere la Teoria della Nascita di Massimo Fagioli.

Frecce!!

Le frecce e la Teoria delle Categorie.

Immaginiamo adesso una teoria matematica diversa.

Una teoria per certi versi folle che decide di poggiare tutto sul concetto di freccia. Si, la freccia,

→

la comune freccia che siamo abituati a disegnare sui fogli, diventa il concetto fondamentale, primitivo, non riconducibile ad altri concetti della teoria che stiamo per introdurre.

Le frecce sono frecce, qualunque cosa questo voglia dire. Le frecce hanno un oggetto iniziale ed un oggetto finale:

• → •

Le frecce rappresentano una qualunque relazione tra due oggetti.

In questa teoria gli enti primitivi sono le “frecce” e gli “oggetti”:

Una categoria è una collezione di oggetti e frecce. Si richiede solo che le frecce si possano comporre per ottenere altre frecce (nel modo che vedremo tra poco):

Gli oggetti possono rappresentare enti di qualunque tipo e le frecce possono rappresentare relazioni le più disparate tra gli oggetti.

La teoria delle categorie è un modo per formalizzare il generico concetto di struttura matematica per mezzo di una collezione di oggetti e frecce.

Molte aree significative della matematica possono essere formalizzate per mezzo delle categorie.

Incentrandosi solo su oggetti e frecce la teoria delle categorie potrebbe sembrare una teoria elementare e di poca portata invece risulta che la teoria delle categorie è un'astrazione del concetto di matematica stesso e permette in molte branche della matematica di enunciare e dimostrare in maniera semplice e pulita risultati che altrimenti risultano estremamente intricati e complessi.

Un esempio di categoria è la categoria degli insiemi in cui gli oggetti sono gli insiemi e le frecce sono le funzioni tra insiemi. Tuttavia in una categoria gli oggetti e le frecce possono essere entità le più disparate purché obbediscano alle poche richieste che la teoria delle categorie fa sulle frecce.

La teoria delle categorie è in grado di dimostrare risultati generali che poi valgono in moltissimi ambiti della matematica proprio perché le categorie compaiono ovunque e riescono a rappresentare ed astrarre concetti molto generali. Per ogni concetto matematico che possa essere rappresentato con oggetti e frecce che si comportano come richiesto dalla teoria delle categorie, saranno validi tutti i risultati della teoria delle categorie.

La teoria delle categorie pone un forte accento sulle frecce, dette anche morfismi. L'idea è che per studiare gli oggetti matematici è fondamentale studiare le relazioni tra gli oggetti più che gli oggetti stessi. Sono le frecce che riescono a raccontare le proprietà degli oggetti perché esse proprietà emergono chiaramente quando un oggetto lo si mette a confronto con altri oggetti.

Le “frecce” possono essere per esempio funzioni, processi o trasformazioni che preservano una struttura.

La proprietà più importante delle frecce è il fatto che si possono comporre.

La teoria delle categorie raggiunge livelli di astrazione estremamente elevati che risultano spesso difficili non solo da comprendere ma anche da concepire.

La teoria delle categorie astrae sui concetti matematici di insieme, spazio topologico, spazio vettoriale, spazio metrico, gruppo, ... e moltissime altre strutture matematiche. La teoria delle categorie riesce a rappresentare tutte queste branche ed a dimostrare risultati che valgono in tutte queste branche.

La teoria delle categorie ci interessa perché si occupa del concetto di freccia, di relazione, di direzione, di processo. E questi concetti sono non solo alla base della matematica ma anche, come abbiamo intuito e vedremo in dettaglio, alle origini della matematica nella mente umana.

Nel prossimo paragrafo vediamo allora la definizione di categoria matematica.

Relazioni come insiemi.

Relazioni e funzioni nella teoria degli insiemi.

La matematica deve, abbiamo detto, studiare le relazioni che sussistono tra oggetti vari di natura astratta. Ma che cos'è una relazione? Cosa sono le relazioni nella teoria degli insiemi?

Questo post è piuttosto tecnico, lo scopo è mostrare come si rappresentano le relazioni nella teoria degli insiemi e scoprire che la costruzione è piuttosto farraginosa.

Una relazione è una freccia, un collegamento, un legame tra due o più oggetti.

Come si può modellizzare il fatto che esiste una relazione tra l'oggetto a e l'oggetto b nella teoria degli insiemi? Solo mettendo a e b in uno stesso insieme e dotando, se necessario, tale insieme di una qualche “struttura”. La relazione tra l'oggetto a e l'oggetto b potrebbe essere rappresentata con {a, b} se a e b non giocano ruoli diversi, oppure con {{a}, {a, b}} se a e b giocano ruoli diversi, per esempio a è il primo oggetto della coppia e b è il secondo oggetto della coppia oppure a è la sorgente e b è la destinazione.

Le coppie della forma {{a}, {a, b}} si chiamano coppie ordinate e si indicano per brevità con (a,b).

Per formalizzare il concetto di relazione nell'ambito della teoria degli insiemi si definisce prima di tutto il concetto di prodotto cartesiano.

Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è l'insieme di tutte le coppie ordinate (a, b) con a in A e b in B (formalmente il prodotto cartesiano è un particolare sottoinsieme dell'insieme di tutti i sottoinsieme di A U B).

Avendo a disposizione il concetto di prodotto cartesiano possiamo dire che una relazione tra l'insieme A e l'insieme B è semplicemente un sottoinsieme del prodotto cartesiano tra A e B.

Una funzione tra A e B invece è una relazione tale che se (a, b1) e (a, b2) sono suoi elementi allora b1=b2, ossia una funzione è una relazione che ad ogni elemento di A associa al più un elemento di B.

Come vediamo le definizioni di relazione e funzione non sono complicatissime ma non sono nemmeno immediate (si tenga presente che abbiamo omesso la maggior parte dei dettagli).

Qualcuno ha pensato che se la matematica deve studiare le relazioni e le trasformazioni allora le relazioni e le trasformazioni dovrebbero essere gli oggetti di base della matematica stessa. Dovrebbero essere quegli oggetti che la matematica prende come primitivi e non ulteriormente riconducibili ad altri concetti. Così fa la teoria delle categorie di cui parliamo nel prossimo paragrafo.

Topologia

Topologia

La topologia è una branca bellissima e fondamentale della matematica.

Non è una branca specialistica nel senso che non si occupa di un ramo di matematica dedicato a un tema ristretto. No, la topologia è alle basi della matematica. La topologia viene subito dopo la teoria degli insiemi e viene prima dell'algebra, prima dell'analisi, prima della geometria. Non si può fare matematica, ai nostri tempi, senza topologia.

Ma cos'è la topologia?

La topologia è lo studio delle proprietà delle figure e delle forme che resistono alle deformazioni continue quali allungamenti, compressioni, torsioni, curvature ma non rotture, bucature, strappi, incollature, sovrapposizioni.

Abituati fin dalla scuola a pensare agli oggetti geometrici in cui le misure contano, facciamo fatica a pensare a proprietà delle forme e delle figure che non dipendono dalle misure e che sopravvivono alle deformazioni continue. Nel 1900 ci si è resi conto che invece queste proprietà sono molte e sono molto importanti, spesso più importanti delle proprietà geometriche. Moltissima della matematica moderna non potrebbe esistere senza lo studio della topologia.

Facciamo alcuni semplici esempi.

Un pallone ha un dentro ed un fuori. Se dentro al un pallone c'è una pallina, non avete modo di tirarla fuori senza rompere il pallone, senza bucarlo. Potete deformare il pallone quanto volete, potete torcerlo, schiacciarlo, comprimerlo, curvarlo, allungarlo ... o addirittura annodarlo se ci riuscite, ma la pallina che è chiusa dentro, resterà dentro. Dentro e fuori sono concetti topologici, non geometrici.

Un altro esempio. Una ciambella ha un buco nel mezzo dove potete infilarci il dito. Potete deformare la ciambella quanto volete ma il buco nel mezzo, ovviamente, resterà a meno che non la rompiate o non incolliate il buco ma queste non sono operazioni ammesse. Anche una tazzina ha un buco in cui mettere un dito, il buco della maniglia; da questo punto di vista una tazzina ed una ciambella sono esattamente la stessa cosa. Un topologo non distingue tra una tazzina ed una ciambella, sono due oggetti con un buco, un solo buco:

Lo spazio dove mettiamo il caffè è solo un infossamento della ciambella.

In generale il numero di buchi che un oggetto ha, è una proprietà topologica.

Un foglio di carta (o di gomma) ha due facce ed un bordo e qualunque deformazione subisca avrà sempre due facce ed un bordo. Un tubo ha due facce e due bordi. Una palla ha due facce e nessun bordo. La bottiglia di Klein (del paragrafo precedente) ha una sola faccia e nessun bordo. Anche facce e bordi sono proprietà topologiche.

Questi sono esempi semplici ma si possono fare esempi di complessità crescente a piacere.

Ecco, la topologia non solo compare presto nella strutturazione dei risultati matematici ma compare presto anche nella mente dei bambini.

I bambini con meno di tre anni passano molto tempo a fare esperimenti topologici: “se metto questa pallina qua dentro che succede?”, “se faccio il giro del tavolo che succede?”, “se la pallina passa dentro al tubo che succede?” “Se passo la corda nell'anello che succede?”, ...

Possiamo adesso osservare che vari degli assiomi di Peano che caratterizzano i numeri naturali (si veda un paragrafo precedente) hanno un carattere topologico: essi servono ad evitare che i numeri naturali abbiano dei loop, servono a fare in modo che i numeri naturali abbiano un inizio (lo 0) e non abbiano una fine e servono ad assicurare che tutti i numeri naturali sino raggiungibili grazie alla funzione “successore di”. Tutte queste sono precise proprietà topologiche che descrivono l'insieme dei numeri naturali come qualcosa che ha la seguente struttura:

Lo scopo di questo nostro lavoro è tentare di raccontare come nasce la matematica nella mente umana. Ci stiamo avvicinando piano piano a raccontare le idee di base.

Abbiamo scoperto che per scoprire come nasce la matematica nella mente umana dobbiamo scoprire come nasce il “contare” nella mente umana perché questa sembra essere una delle attività di base. E forse ancora prima dobbiamo scoprire come nasce quella freccia, quella spinta, che fa passare dallo 0 all'1.

Abbiamo poi scoperto (si veda anche il paragrafo precedente) che ci sono strani e forti nessi tra la struttura dei numeri naturali ed i concetti topologici di contenuto e contenente.

E' interessante notare che la topologia, nel momento in cui parla di deformazioni, porta con sé un concetto di tempo perché le deformazioni avvengono nel tempo. Ma il concetto di tempo è a sua volta intimamente connesso con il contare perché contare è anche una scansione del tempo.

Alle basi della matematica, alle sue origini nella mente umana, troviamo quindi un forte legame tra le nozioni di “contare”, “tempo” e “topologia”.

Nei prossimi paragrafi troveremo che nel bambino appena nato che cerca il seno c'è già il primo pensiero che rende possibile agli esseri umani contare, pensare a questioni topologiche e creare matematica.

Ma prima di addentrarci negli aspetti psicologici della nostra ricerca abbiamo un ultimo argomento matematico da affrontare: le relazioni, le frecce!